Cтраница 2
Объем, приходящийся на одну возмущающую частицу, равен UN, где N - плотность газа. Элемент объема интегрирования имеет вид иДт 2npdp, где v - относительная скорость сталкивающихся частиц. [16]
При помощи этого выражения величина Я может быть рассчитана во всех точках проводников с токами. Оговорка относительно односвязности объема интегрирования при вычислении вихревой составляющей Я искомого поля связана с тем обстоятельством, что объем может занимать не только часть пространства, где протекает электрический ток, но и часть, где ток отсутствует. [17]
В точке г О V Е обращается в бесконечность, и применение теоремы Гаусса требует осторожности. Правильнее в-этом случае было бы поступить так: в качестве объема интегрирования нужно выбрать объем, заключенный между двумя концентрическими сферическими поверхностями вокруг точечного заряда: одна из них имеет произвольный радиус т, а другая - бесконечно малый радиус. В таком объеме нет зарядов, и применение-теоремы Гаусса дает правильный результат. При этом поток вектора Е через сферическую поверхность радиусом т оказывается равным потоку ( но с обратным знаком) через поверхность с бесконечно малым радиусом. [18]
Гаусса-Остроградского сводится к поверхностному интегралу от F4 по трехмерной границе четырехмерного объема интегрирования. Принимая еще во внимание, что вариации функций поля 6w исчезают на этой границе, получаем, что член F. [19]
Все дальнейшие выкладки весьма аналогичны вычислениям, проведенным нами при определении пондеромоторных сил электрического поля. В частности, мы предположим, что поверхностей разрыва в поле нет и что объем интегрирования охватывает полное поле, так что все поверхностные интегралы, с которыми мы будем встречаться в дальнейшем, обратятся в нуль. [20]
Все дальнейшие выкладки весьма аналогичны вычислениям, проведенным нами при определении пондеромоторных сил электрического поля. В частности, мы предположим, что поверхностей разрыва в поле нет и что объем интегрирования охватывает полное поле, так что все поверхностные интегралы, с которыми мы будем встречаться в дальнейшем, обратятся в нуль. [21]
И в том и в другом случаях ( V конечно или бесконечно) можно разделить объем интегрирования на части Va, каждая из которых включает ядро с номером а и сопоставляется этому ядру. [22]
Не имея возможности входить здесь в математические подробности, скажу только, что устранение угловых расходимостей обусловливается не знаменателем в выражении элемента объема интегрирования, как у Снайдера, а связано с особенностью выражения суммы двух импульсов в кривом импульсном пространстве. Дело в том1, что при отсутствии трансляционной инвариантности необходимо каким-то образом постулировать закон сложения векторов. С этой целью можно обобщить обычный закон сложения векторов, определяя сумму двух векторов как диагональ построенного на них параллелограмма. В плоском пространстве противоположные стороны параллелограмма равны по длине и параллельны друг другу. В кривом пространстве эти два требования несовместимы; я оставлю второе. Конечно, в кривом пространстве стороны параллелограмма являются не прямыми линиями, а геодезическими. [23]
Это означает, что внутри объема не могло быть источников притока ( стока) новых масс жидкости или газа. Если же такие - особые - точки в потоке ( источники или стоки) существуют, то их следует дополнительно выделять контрольными поверхностями, например, окружать сферами, и включать поверхности этих сфер в общую совокупность поверхностей, ограничивающих объем интегрирования; таким приемом приходится постоянно пользоваться при рассмотрении движения жидкости. [24]
Если формально воспользоваться теоремой Гаусса, то в силу того, что V - ( / C / 3) r0, поток вектора Е через сферическую поверхность оказывается равным нулю в противоречии с найденным в пункте ( а) результатом. В точке г0 выражение для Е обращается в бесконечность, и использование теоремы Гаусса требует осторожности. Правильнее в этом случае было бы поступить так: в качестве объема интегрирования выбрать объем, заключенный между двумя сферическими поверхностями, одна из которых имеет произвольный радиус г, а другая-бесконечно малый радиус вокруг точечного заряда. В таком объеме нет зарядов и применение теоремы Гаусса дает правильный результат. При этом поток вектора Е через сферическую поверхность радиусом г оказывается равным потоку через поверхность с бесконечно малым радиусом, но с обратным знаком. [25]
Пределы интегрирования по t, х, у, и z при этом не меняются. Что касается вариаций бт ], то они должны обращаться в нуль не только в точках t t и t tz, но и в любой точке на границе объема интегрирования. [26]