Cтраница 1
Любая окрестность начала координат распадается не менее чем на 4 компоненты связности при выбрасывании начала координат, чего не может быть на многообразии. [1]
Тогда система (8.9.10) имеет периодические решения в любой окрестности начала координат. Следовательно, функция V, вычисленная на периодических решениях системы (8.9.10), является строго монотонной функцией t, что противоречит ее периодичности. Таким образом, случай не алгебраический. [2]
Так как удовлетворены условия второй части леммы 4.6.4, то в любой окрестности начала координат существует ( п - 1) - мерное многообразие W ( w) z ( r), отделяющее любую наперед заданную точку области N от начала координат. Поэтому в данном случае из области N в начало координат не входит ни одна интегральная кривая. [3]
Так как удовлетворены условия второй части леммы 4.6.4, то имеем в любой окрестности начала координат указанное в формулировке леммы ( п - 1) - мерное многообразие W ( w) z ( r), не входящее в начало координат. [4]
Так как функция vz ( t, X, ц) может принимать отрицательные значения в любой окрестности начала координат, то нулевое решение системы уравнений (4.156) неустойчиво. [5]
Она, очевидно, является положительно определенной, в то время как сама функция V ( x y) в любой окрестности начала координат принимает положительные значения, хотя и не является ни определенно, ни постоянно положительной. Поэтому тривиальное решение системы (7.20) неустойчиво. [6]
Она, очевидно, является положительно определенной, в то время как сама функция V ( х, у) в любой окрестности начала координат принимает положительные значения, хотя и не является ни определенно, ни постоянно положительной. Поэтому тривиальное решение системы (5.22) неустойчиво. [7]
Построить функцию, имеющую производную во всех точках оси Ох, причем эта производная разрывна в начале координат и не ограничена в любой окрестности начала координат. [8]
Существование квадратичной формы V ( х), удовлетворяющей указанному в теореме уравнению, следует из теоремы 4.14. Покажем, что в любой окрестности начала координат существует точка, в которой V ( x) принимает положительное значение. [9]
Действительно, лагранжево многообразие L, будучи единственной се-ператрисой устойчивых точек гамильтоновой системы (3.1), представляет изолированное в топологии поточечной сходимости сечение расслоения T Rn П р - 1 ( 0) в любой окрестности начала координат О Е Rn. [10]
Если для системы уравнений ( 1) существует функция V ( х), удовлетворяющая условию V ( 0) 0, производная которой в силу системы ( 1) знакоопределенная, причем в любой окрестности начала координат имеются точки, в которых знак функции V ( х) совпадает со знаком ее производной, то тривиальное решение системы неустойчиво в смысле Ляпунова. [11]
Действительно, лагранжево многообразие L, будучи единственной се-ператрисой устойчивых точек гамильтоновой системы (3.1), представляет изолированное в топологии поточечной сходимости сечение расслоения T Rn П ( р - 1 ( 0) в любой окрестности начала координат О Е Rn. [12]
Если для системы уравнений ( 1) существует непрерывная функция V ( х), удовлетворяющая условию V ( 0) 0, производная которой в силу системы ( 1) знакоопределенная, причем в любой окрестности начала координат имеются точки, в которых знак функции V ( х) совпадает со знаком ее производной, то тривиальное решение системы неустойчиво в смысле Ляпунова. [13]
Условием такого рода для задачи оптимальной стабилизации, имеющей конечное число решений, является топологическое свойство почти изолированности функции Беллмана-Ляпунова в пространстве решений уравнения Гамильтона-Якоби, в том смысле что график градиента потенциальной функции изолирован в любой окрестности начала координат в пространстве графиков градиентов решений уравнения Гамильтона-Якоби относительно топологии поточечной сходимости. [14]
Если для системы уравнений ( /) существует непрерывная функция V ( х), удовлетворяющая условию V ( 0) 0, производная ко / порой в силу системы ( 1) знакоопреде ленная, причем в любой окрестности начала координат имеются точки, в которых знак функции V ( х) совпадает со знаком ее производной, то тривиальное решение системы неустойчиво в смысле Ляпунова. [15]