Cтраница 2
Условием такого рода для задачи оптимальной стабилизации, имеющей конечное число решений, является топологическое свойство почти изолированности функции Беллмана - Ляпунова в пространстве решений уравнения Гамильтона-Якоби, в том смысле что график градиента потенциальной функции изолирован в любой окрестности начала координат в пространстве графиков градиентов решений уравнения Гамильтона-Якоби относительно топологии поточечной сходимости. [16]
Теорема 4.17. Если среди корней характеристического уравнения системы (4.21) имеется хотя бы один корень с положительной вещественной частью и сумма никаких пар этих корней не обращается в нуль, то какова бы ни была положительно определенная функция ги ( х), найдется квадратичная форма У ( х), у которой производная по времени в силу указанного уравнения системы удовлетворяет уравнению V ( x) ги ( х), и в любой окрестности начала координат имеется точка, в которой V ( x) принимает положительное значение. [17]
Квадратичная форма У ( х) не может быть отрицательно определенной, так как в противном случае функция - У ( х) удовлетворяла бы условию теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. В силу указанной причины в любой окрестности начала координат существует точка, где V ( x) по крайней мере обращается в нуль. [18]
Следовательно, функция V ( t, ж, г /) имеет бесконечно малый высший предел. Она, очевидно, равномерно по t ограничена в любой окрестности начала координат. [19]
Следовательно, функция V ( t x y) имеет бесконечно малый высший предел. Она, очевидно, равномерно по t ограничена в любой окрестности начала координат. [20]
Q лежит в одном из полупространств лг - 0 или лг О; в этом случае траектория y ( q, t), согласно теореме 20.1, стремится к началу координат. Тогда траектория у ( р, t имеет точки в любой окрестности начала координат, и нетрудно видеть, что эта траектория имеет точки пересечения с плоскостью лг 0 в любой близости от начала координат. [21]
Если можно указать окрестность начала координат, в которой все координатные ряды (8.1.2) сходятся, то векторный ряд Х ( х) назовем сходящимся. Если же о сходимости ряда ничего не утверждается или он расходится в любой окрестности начала координат, то такой ряд будем называть формальным. [22]
Из (8.3.4) и (8.3.5) ( в последнем случае, если ряд в правой части равенства - сходящийся) заключаем, что расположение траекторий имеет тип седла. Но в этом случае не всегда можно отсюда сделать заключение о поведении траекторий системы (8.1.1), так как любое преобразование к нормальной форме ( в том числе стандартное) может расходиться в любой окрестности начала координат. Однако другими методами можно доказать, что седлу в линейной системе соответствует седло в нелинейной системе, если рассматривать достаточно малую окрестность начала координат. [23]