Cтраница 4
Для завершения доказательства нам нужно показать, что изометрия гиперболической плоскости Я2, оставляющая неподвижными все точки некоторой геодезической / и не меняющая местами ее сторон, является тождественным отображением. Так как изометрия у сохраняет углы, то она должна сохранять геодезическую m и, таким образом, оставлять все точки кривой m на месте. Поскольку любая точка гиперболической плоскости Я2 лежит на некоторой геодезической, проходящей через точку Р, отсюда следует требуемый результат. Заметим, что из проведенного доказательства следует, что всякая изометрия гиперболической плоскости пред-ставима в виде произведения не более чем трех отражений. [46]
Для завершения доказательства осталось установить тот факт, что соотношение (4.7) является необходимым и достаточным условием симметричности матрицы A ( t) для всех t из области определения последней. [47]
Для завершения доказательства нам осталось показать, что характеристическое уравнение не имеет кратных корней. Предположим, что ij eai а другие корни различны. Ограниченность гп снова с необходимостью приводит к томуг что 0, Следовательно. [48]
Для завершения доказательства остается показать, что открытые множества U и V не пересекаются. [49]
Для завершения доказательства применим следствие 1.2 о делении скоростей. [50]