Cтраница 2
Задачи, касающиеся систем псевдодифференциальных операторов, обсуждаются в гл. В § 1.1 мы доказываем, что искомые оценки эквивалентны некоторым неравенствам, содержащим только операторы первого порядка с линейными коэффициентами. Каждый такой оператор-составлен из членов первого порядка в разложении по формуле Тейлора символа псевдодифференциальной системы в некоторой характеристической точке. [16]
В настоящей работе мы показываем, что интегрируемость по Дарбу тесно связана с обобщенной факторшуемостью соответствующего линеаризованного уравнения. Обычное определение факторизации оператора второго порядка ( 4) как представления его в виде композиции L о L-2 операторов первого порядка влечет обращение в нуль хотя бы одного из инвариантов Лапласа Н, К, и, как очевидно, такие факторизации L ( Dx - В) о ( Dy - A) ( L ( Dy - А) о ( Dx - В)) разрушаются под действием преобразования Лапласа. [17]
Большое число примеров связано с алгебрами Клиффорда. Они были введены Клиффордом в прошлом веке ( см. его собрание сочинений [46]) и переоткрыты ( в частном случае) Дираком в этом веке [51], в связи с желанием представить линейный дифференциальный оператор второго порядка в качестве квадрата оператора первого порядка с матричными коэффициентами. [18]
То есть мы имеем такое условие характеристичности. Такие комплексы прямых, для которых имеется характеристичность ( когда можно вычислить оператор первого порядка по ограничению на эти прямые) называют допустимыми комплексами. Для них может быть решена задача Гурса, а не задача Коши, как в общем случае. [19]
В различных доказательствах этого факта равенство старших коэффициентов единице является очень существенным условием. Значительно более трудный вопрос об эквивалентности дифференциальных операторов со старшими коэффициентами, отличными от тождественной единицы ( даже для операторов первого порядка), изучен пока очень мало. [20]
Второй ответ, касающийся квадратичной зависимости от оператора импульса, также достаточно очевиден. Квадратичная зависимость от второй пространственной производной, как хорошо известно ( см. например [48]), связана с изотропией пространства. Квадратичная зависимость от второй временной производной обусловлена зарядовой симметрией, состоящей в естественном предположении о том, что замена знака всех зарядов во Вселенной на противоположные не должна приводить к регистрируемым изменениям. Этому принципу естественно удовлетворяет и оператор первого порядка ( ihd / dt - qp), входящий в уравнение Дирака. [21]
С этого места начинается вторая половина задачи. Нужно выяснить, для каких 3-параметрических семейств множество прямых, проходящих через точку, будет удовлетворять этому условию характеристичности. Оказывается, что на это 3-параметрическое семейство возникает одно нелинейное уравнение, которое можно интегрировать при помощи метода характеристик, совершенно классического. И если вы разберетесь с геометрией, как устроены эти характеристики, ответ будет как раз такой: это либо все прямые, которые пересекают прямую, либо все прямые, которые касаются коники. Еще можно доказать, что если есть формула обращения с каким-то оператором первого порядка, то она всегда может быть вычислена при помощи оператора к с небольшими вариациями. [22]
Если мы варьируем такую кривую внутри нашего семейства, она в нуле будет равна нулю. Построенная форма будет дельта-замкнута. Основная теорема нашей работы с Гельфандом и Шапиро заключалась в том, что если у вас имеется такого типа форма обращения, то она всегда является ограничением такой универсальной формы плюс еще некоторый член, связанный с изменением параметра. Получилась вещь, которая нас тогда страшно удивила. Все формулы обращения с операторами первого порядка обратной формы являются ограничениями стандартной дифференциальной вариационной формы на пространстве всех кривых. Когда получались первые явные формулы интегральной геометрии, мы никак не могли понять, почему все они похожи одна на другую. [23]