Cтраница 2
Таким образом, произвольный ограниченный линейный оператор представляется в виде оператора взвешенного сдвига в некотором пространстве F ( X), причем построенное пространство F ( X) является замкнутым векторным подпространством пространства С ( Х), где X компактно в - слабой топологии. Поэтому теория операторов вида (1.1) в произвольных пространствах эквивалентна общей теории операторов. Специфические свойства операторов взвешенного сдвига и произвольных функциональных операторов проявляются, если их рассматривать в специальных пространствах функций, например в пространствах Лебега, пространствах непрерывных, дифференцируемых или аналитических функций. [16]
Полученные результаты позволяют сформулировать ряд вопросов о типичности отмеченных свойств. Когда спектр оператора взвешенного сдвига связен. Какой симметрией обладает спектр оператора взвешенного сдвига. Когда он инвариантен относительно вращений. Для каких операторов спектр не зависит от индекса р пространства Lp, а для каких зависит. Ответы на эти вопросы для многих случаев приведены ниже. [17]
При вычислении спектрального радиуса оператора b вида аТн использовалось свойство непрерывности сверху спектрального радиуса и учитывалось, что при малом изменении оператора спектральный радиус может существенно уменьшиться. В рассматриваемом случае такая предосторожность связана с существом дела - на операторах взвешенного сдвига вида (2.4) реализуется, и притом весьма наглядно, явление разрывной зависимости спектрального радиуса от оператора. [18]
Существует иной подход к задаче доказательства унитарной эквивалентности ( в случае несамосопряженных операторов - подобия) возмущенного оператора невозмущенному. X К) является сжатием в пространстве операторов. Если такой оператор Г найти удается, то в качестве Г южно взять оператор ( 7 - - Г) - 1 /, проверив предварительно его обратимость. Этим методом удается исследовать широкий класс нормальных операторов с дискретным и непрерывным спектром, ква-зинилыготентных операторов, операторов взвешенного сдвига и, что особенно важно для приложений, многомерных интегро - дифференциальных операторов. [19]
Книга состоит из 6 глав. В главе 0 изложены предварительные сведения. Глава 1 имеет вводный характер. В ней рассмотрены условия ограниченности функциональных операторов, разобраны модельные примеры, выявляющие особенности рассматриваемого класса операторов, получено выражение спектрального радиуса оператора взвешенного сдвига через средние геометрические по инвариантным мерам. В главе 2 изложены основные факты теории С - алгебр, порожденных функциональными операторами. Эта теория связана с такими классическими объектами, как представления коммутативных С - алгебр, представления групп, динамические системы, однако задача не сводится к описанию этих объектов. [20]