Cтраница 3
Итак, исходным моментом является рассмотрение универсальной алгебры Л ( А ] а) как совокупности объектов Л, над которыми производятся некоторые вычисления, и при этом сигнатурные функции алгебры - это функции, заданные на А некоторыми стандартными ( простейшими) программами вычислений. Более сложные программы вычислений над Л, получаемые с помощью оператора суперпозиции из простейших, соответствуют термам сигнатуры а и вычисляют термальные функции алгебры А. [31]
Следовательно, левая часть уравнения (6.8) представляет собой потенциальный оператор. Выражение вида A / F ( A hy) называется оператором суперпозиции. [32]
Пусть функция Q ( t, s, и) удовлетворяет условиям теоремы 20.6, но действующий из Na в 58 ( a, P) оператор суперпозиции (20.47) не обладает свойством непрерывности. [33]
Одной из возможных прикладных трактовок понятий универсальной алгебры и терма ее сигнатуры является следующее: на некоторой совокупности объектов - базисном множестве универсальной алгебры - заданы некоторые стандартные ( будем далее называть их простейшими) программы преобразований, вычислений соответствующие сигнатурным функциям данной универсальной алгебры. Однако в программировании используется еще целый ряд принципов композиции более сложных программ из подпрограмм, в том числе и так называемый условный оператор. Основным понятием, изучаемым в этой главе, является понятие условного терма, соответствующее программе вычислений в данной универсальной алгебре, построенной из простейших подпрограмм с помощью оператора суперпозиции и условного оператора. Результаты, связанные с условными термами, представляют как чисто алгебраический интерес, так и интерес с точки зрения трактовки этих результатов как программ вычислений в данной универсальной алгебре. [34]
Изложение в этом параграфе носит неформальный хприктер, и формулировки приведенных теорем не являются строгими. Грубо говори, роулмшм настоящего параграфа состоят в том, что если какое-то снойстно спрнисдлиио АЛЯ линеаризации уравнения ( I), то оно имеет место и для самого нелинейного урпининий, При доказательстве этих утверждений возникают две принципиальные i рудной и Мерная из них состоит в том, что нелинейный член Q ( x t 0 u) не подчинен глннноИ линейной части. В случае линейных уравнений аналогичная проблем Пыли рсиичт переходом от операторов к квадратичным формам, которые допускают одинпкоиыв оценки сверху и снизу. HntfMN трудность связана с некоторыми свойствами оператора суперпозиции и ироиртилв гладких растущих функций. А именно, пусть q ( u) - бесконечно глидкпя фимитнни функция на R. К)) и исбн и является бесконечно дифференцируемым в смысле Фрсшс. [35]
Одной из возможных прикладных трактовок понятий универсальной алгебры и терма сигнатуры этой алгебры является следующее: на некоторой совокупности объектов - - основном множестве универсальной алгебры - заданы некоторые стандартные ( будем далее называть их простейшими) программы преобразований, вычислений, соответствующие сигнатурным функциям данной универсальной алгебры. Однако в программировании используется еще целый ряд принципов композиции более сложных программ из подпрограмм, в том числе и так называемый условный оператор. Автором настоящей монографии предпринято рассмотрение абстрактного понятия условного оператора в рамках теории универсальных алгебр и на основе этого понятия предложено понятие условного терма. Интуитивно концепция условного терма соответствует понятию программы вычислений, преобразований на основном множестве универсальной алгебры, составленной из простейших ( сигнатурных) программ с помощью оператора суперпозиции и условного оператора. [36]