Cтраница 1
Оператор Урысона с ядром К ( t, s, и) определен на функциях x ( s), для которых функция K [ t, s, x ( s) ] суммируема. [1]
Пусть оператор Урысона А с ядром К ( t, s, и) действует из La в L ( 0 а, 3 со) и ограничен на каждом шаре. [2]
Тогда оператор Урысона А с ядром K ( t, s, и) определен на шаре xQ a пространства L0, действует в Lu и вполне непрерывен. [3]
Тогда оператор Урысона А с ядром K ( t, s, и) дей - СШвует из La в L0 и вполне непрерывен. [4]
Тогда оператор Урысона (7.6) определен на конусе К неотрицательных функций пространства Lp; значения его принадлежат Lp, формула (7.16) определяет сильную производную Фреше оператора (7.6) в точке 0 по конусу К. [5]
Тогда оператор Урысона А вполне непрерывен. [6]
Рассмотрим вначале оператор Урысона в пространстве С непрерывных на Q функций. Пусть x ( t) неотрицательна и не равна тождественно нулю. [7]
Теорема 19.7. Пусть оператор Урысона А действует из La в Ly где 0 а сю, 0 р 1, и регулярен. [8]
Теорема 19.8. Пусть оператор Урысона Ас неотрицательным ядром K ( t, s, и) действует из La в La ( Q a, Р - 1) и ограничен на каждом шаре. [9]
Теорема 19.10. Пусть оператор Урысона А с ядром К ( t, s, и) действует из La в L ( 0; а со, 0 р 1) и ограничен на каждом шаре. [10]
Допустим, что оператор Урысона не действует в пространстве С или его по каким-либо соображениям неудобно рассматривать в С. В этом случае пространства, в которых можно рассматривать оператор Урысона, определяются характером нелинейности функции k ( t, s, и) по переменной и. Если эти нелинейности существенно нестепенные, например экспоненциальные, то приходится применять пространства Орлича. [11]
Теорема 19.6. Пусть оператор Урысона А с ядром K ( t, s, и) действует из La в L ( 0 а со, 0 5С1) и регулярен. [12]
Исследование положительных решений оператора Урысона, ядро которого линейно зависит от параметра. [13]
Ниже устанавливаются достаточные условия дифференци-руемости операторов Урысона. [14]
Если выполнено условие (7.29), то оператор Урысона оставляет - инвариантным конус К, более того, оператор Урысона при этом условии преобразует все неотрицательные функции в элементы из К. [15]