Cтраница 2
Приведем вначале простые условия дифференцируемое по Фреше оператора Урысона в пространстве С. [16]
Вполне понятно, что нелинейные системы, описывающиеся оператором Урысона и оператором Гаммерштейна, могут быть отнесены также к классу % нелинейных систем. [17]
Изучение нелинейных интегральных операторов, более общих, чем операторы Урысона, часто удается свести к изучению суперпозиций операторов Урысона и нелинейных операторов суперпозиции. [18]
В этом параграфе изучаются вопросы, связанные с непрерывностью оператора Урысона. [19]
Из свойства частичной аддитивности вытекает ряд простых утверждений об операторах Урысона. [20]
Тогда при любом регуляризаторе Ф ( t, s, it) оператор Урысона В с ядром К ( t, s, u) ( t, s, и) действует из La в L и компактен. [21]
Будем предполагать, что выполнено условие (7.28), из которого вытекает, что оператор Урысона преобразует конус К неотрицательных функций в себя. [22]
Если К ( х, t, и) непрерывна по совокупности переменных, то оператор Урысона действует из L в С и вполне непрерывен. [23]
Если выполнено условие (7.29), то оператор Урысона оставляет - инвариантным конус К, более того, оператор Урысона при этом условии преобразует все неотрицательные функции в элементы из К. [24]
Изучение нелинейных интегральных операторов, более общих, чем операторы Урысона, часто удается свести к изучению суперпозиций операторов Урысона и нелинейных операторов суперпозиции. [25]
Так как вогнутый оператор удовлетворяет требованиям, предъявляемым к монотонным минорантам, то в условиях, приведенных в настоящем пункте, оператор Урысона имеет континуум положительных собственных функций. [26]
Для доказательства достаточно заметить, что в условиях теоремы линейный интегральный оператор с ядром P ( t s) является монотонной минорантой оператора Урысона, а затем сослаться на теорему 5.2. Из этой теоремы вытекает, что в условиях теоремы 7.7 положительные собственные функции образуют непрерывную ветвь бесконечной длины. [27]
Тогда оператор Урысона сильно дифференцируем по Фреше в каждой точке x0 ( t) пространства С. [28]
Для интегральных уравнений с оператором Урысона, содержащим выпуклые по и функции k ( t, s, и), достаточно общие теоремы единственности положительного решения неизвестны. Неизвестен и общий способ доказательства таких теорем. [29]
Допустим, что оператор Урысона не действует в пространстве С или его по каким-либо соображениям неудобно рассматривать в С. В этом случае пространства, в которых можно рассматривать оператор Урысона, определяются характером нелинейности функции k ( t, s, и) по переменной и. Если эти нелинейности существенно нестепенные, например экспоненциальные, то приходится применять пространства Орлича. [30]