Cтраница 4
Один из возможных путей преодоления трудностей, возникающих в задачах оценки параметров состояния и идентификации объектов химической технологии, состоит в использовании аппарата статистической динамики, оперирующего с интегральными операторами и весовыыи функциями исследуемых систем. Достоинство данного подхода к решению задач идентификации состоит также в том, что открывается возможность Широко использовать замечательные свойства аналитических случайных процессов при синтезе оптимальных операторов объектов с конечной памятью. Заметим, что требование линейности системы для реализации данной методики в незначительной мере снижает ее общность. Как следует из рассмотренного в главе цримера, эта методика применима для широкого класса нелинейных объектов химической технологии, если воспользоваться методом нелинейных преобразований случайных функций. Специфика нелинейных объектов в химической технологии такова, что практически почти всегда можно свести нелинейные дифференциальные операторы к линейным или квазилинейным интегральным операторам. Это достигается либо путем разложения решения нелинейного дифференциального уравнения по параметру, либо с помощью специальной замены переменных. [46]
При этом допускается, что требуемый выходной сигнал W ( t) в каждый данный момент t и при каждом возможном значении и вектора параметров сигнала U и оптимальный оператор в общем случае могут быть случайными. [47]
Двойственным к принципу минимальной сложности является принцип ограниченной сложности. Пусть мы имеем некоторую шкалу сложности М и множество А ( М, относительно которого можно сказать, что оно определяет конечную сложность содержащихся в нем операторов. Тогда оптимальным оператором ограниченной сложности относительно множества А шкалы М будет оператор, доставляющий экстремальное значение функционалу J ( х) и принадлежащий множеству А. В частности, если сложность оператора х определяется минимальной размерностью подпространства, содержащего оператор х, синтез оптимального оператора ограниченной сложности сводится к нахождению наилучшего подпространства заданной размерности. [48]
Метод регуляризации может привести к физически нереализуемым решениям. Например, если экстремум У ( х) достигается на множестве обобщенных функций, то, согласно методу регуляризации, область определения функционала Q ( л) также должна содержать обобщенные функции. Однако практически реализация оптимального оператора, содержащего обобщенные функции и их производные, затруднительна. Поэтому при таком подходе необходимо вначале найти решение в более широком классе, например в классе, содержащем обобщенные функции, а затем аппроксимировать его желаемым оператором в более узком классе, не содержащем эти функции, что нецелесообразно. [49]
В этой работе отсутствуют понятия е-аппроксимации и информации, а определение оптимальности отлично от нашего. Рассматривается задача аппроксимации неограниченного линейного оператора U линейными операторами ф, норма которых не превосходит заданной константы. Для нескольких U найдены оптимальные операторы ф и их погрешности. [50]