Cтраница 2
Из этого соображения вытекает, что все утверждения теоремы 6.8 сохраняют силу, если некоторая степень Af оператора А является вполне непрерывным и0 - вогнутым оператором. [16]
Теорема 6.9. Пусть конус К вполне правилен. Пусть непрерывный и0 - вогнутый оператор А имеет один положительный собственный вектор. [17]
Предположим вначале, что вогнутый оператор А вполне непрерывен и монотонен. [18]
В частности, им был выделен класс операторов, рассматриваемый в теореме 6.5; им был подвергнут специальному исследованию класс операторов, вогнутых на некотором конусе в смысле полуупорядо-ченпости, порожденной вторым конусом. В настоящей книге теория вогнутых операторов получила дальнейшее развитие; определения несколько изменены. [19]
Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям. В ряде приводимых ниже теорем изучаются собственные векторы вогнутого оператора А. В теоремах этого параграфа предполагается, что соответствующие собственные векторы существуют; вопрос о существовании собственных векторов обсуждается позднее. [20]
Утверждение этой теоремы справедливо и для таких операторов А, некоторая степень Ар которых является ц0 - вогнутым оператором. Указывается класс операторов, квадрат которых является и0 - вогнутым оператором. [21]
Представляет интерес вопрос о том, какие дополнительные возможности дает применение более общих классов вогнутых операторов. [22]
Вогнутость оператора означает, что он содержит лишь слабые нелинейности - значения оператора на элементах конуса растут медленно при росте норм элементов. Выпуклость же оператора означает, как правило, что он содержит сильные нелинейности. В соответствии с этим уравнения с вогнутыми операторами и уравнения с выпуклыми операторами обладают рядом различий; так, первые близки по своим свойствам к соответствующим скалярным уравнениям, для вторых же такой близости нет: напр. [23]