Cтраница 2
Ли) G, которые разрешимы в смысле обычного определения теории групп. Оказывается, что это те и только те группы, алгебры Ли которых разрешимы, а для того чтобы группа G была нильпотентна ( в смысле определения Цассенхауза, см. Zassenhaus, Lehrbuch der Gruppentheorie), необходимо и достаточно, чтобы ее алгебра Ли была нильпотентна. Неприводимые алгебраические линейные группы G, алгебры Ли д которых состоят из нильпотентных операторов, обладают замечательными свойствами. В такой группе канонические координаты ( относительно некоторого базиса алгебры Ли) образуют систему координат для всей группы, причем координаты произведения двух элементов выражаются полиномами от координат множителей. [16]
Если элемент х е С полупрост, то А: е Я ввиду утверждения 2 и оператор adc А: ( 0) заведомо нильпотентен. С другой стороны, если хЕ С нильпотентен, то оператор adc х тем более нильпотентен. Поскольку xs, xn лежат в С ввиду утверждения 1, оператор adc х равен сумме коммутирующих нильпотентных операторов и потому сам нильпотентен. По теореме Энге-ля алгебра С нильпотентна. [17]
В некоторых упражнениях показано, как возникают контрпримеры в простой характеристике. Более того, чтобы располагать собственными значениями оператора ad x для произвольного х ( а не только для нильпотентного оператора ad х), мы будем считать поле F алгебраически замкнутым, если не оговорено противное. [18]