Cтраница 3
Обратно, пусть S - спектральный оператор класса ( Г) с разложением единицы Е, такой, что S Я. [31]
Таким образом, в определении спектрального оператора постулируется ряд свойств, которые для самосопряженных и нормальных операторов в гильбертовом пространстве являются итогом развиваемой нами теории. [32]
Сумма и произведение двух коммутирующих ограниченных спектральных операторов в гильбертовом пространстве также являются спектральными операторами. [33]
Таким образом, Т является спектральным оператором тогда и только тогда, когда он является спектральным оператором класса ( 38, ЗЕ), где 98 - поле борелевских множеств на плоскости. [34]
Далее будет показано, что всякий спектральный оператор Т имеет представление, указанное в формулировке теоремы. [35]
Очевидно, что если А - спектральный оператор, то разложение теоремы 22 является его каноническим разложением. Но сейчас для нас особенно важен тот факт, что это разложение существует для любого оператора А из ЭД2, даже для тех Л, которые не имеют, как и S, разложения единицы. [36]
Теорему 4.5, которая дает представление спектрального оператора в виде суммы оператора скалярного типа и квазинильпотентного оператора, можно рассматривать как обобщение теоремы Жор дана о разложении; она была доказана Данфордом [ 18; стр. Доказательство, аналогичное приведенному здесь, было сообщено авторам Фойашем. [37]
Мы покажем, что разложение единицы спектрального оператора определяется однозначно. Это делается в следующей далее теореме 5; предварительные леммы основаны на тех же соображениях, которые были использованы в случае ограниченных спектральных операторов. [38]
Нетрудно проверить, что если Т - спектральный оператор с разложением единицы Е, то для замкнутого подмножества F в спектре а ( Т) подпространство E ( F S. Аналогично, если a - спектральное множество ( в смысле VII. Следовательно, как спектральные, так и компактные операторы имеют много спектральных максимальных подпространств. [39]
Было бы ошибочно думать, что лишь спектральные операторы, являющиеся инфинитезимальными образующими сильно непрерывных полугрупп ( на [ 0, оо)), являются операторами скалярного типа. [40]
Для того чтобы можно было воспользоваться теорией спектральных операторов, нам необходимы две леммы. Эти леммы покажут, что предположения теоремы 5.18 выполнены в случае самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве. [41]
Операционное исчисление, построенное в следствии 10.11 для спектрального оператора А из И2, требует вычисления проекторов Ец, и мы сейчас проделаем это. [42]
Мы доказали, что sin лС не является спектральным оператором. [43]
По-видимому, не существует разумного обобщения теоремы XV.4.5 на неограниченные спектральные операторы. Можно дать определение скалярной части спектрального оператора общего вида, но не известно никакого удовлетворительного описания разности между спектральным оператором и его скалярной частью. [44]
Большое число статей было опубликовано относительно групп и полугрупп спектральных операторов. Берксон [5], Фойаш [3, 8], Ионеску [2], Ланье [1], Люмер [2, 3], Маккарти и Стемпфли [1] и Панчапагесан [1] по поводу результатов, полученных в этом направлении. [45]