Cтраница 1
Спектральный оператор скалярного типа обладает единственным разложением единицы. [1]
Всякий спектральный оператор скалярного типа является [ - скалярным, если И - алгебра ограниченных борелевских функций. [2]
Понятие спектрального оператора скалярного типа было обобщено Бишопом [1] довольно интересным способом. [3]
Если Г - спектральный оператор скалярного типа, то каждый вектор из X имеет Г - меру. [4]
ЛЕММА Пусть Т - спектральный оператор скалярного типа, Е - его разложение единицы и f - функция, аналитическая в открытом множестве U, причем E ( U) I. Тогда операторы f ( T), построенные в определениях 15 и 8, совпадают. [5]
Так как Лг - спектральный оператор скалярного типа, то, согласно теореме 7, a ( Ag) a0M ( g), а так как a ( s) - линейная форма, то в силу ( 114) спектр а ( Л) лежит в некоторой полуплоскости. Согласно теореме 8, Л - инфи-нитезимальная образующая сильно непрерывной полутруппы Т ( t) F-lexp ( tA) F. [6]
Ограниченный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве является спектральным оператором скалярного типа. [7]
Было бы интересно обобщить теорему 17 со случая спектральных операторов скалярного типа на произвольные спектральные операторы. К сожалению, ее нельзя перенести буквально на этот последний случай, как показывает приведенный ниже пример спектрального оператора Т, для которого оператор sinjiT1 не является спектральным. [8]
Теперь мы рассмотрим вопрос о подобии некоторых классов спектральных операторов скалярного типа. Пусть Q - оператор скалярного типа с разложением единицы Е () Так как Е () счетно аддитивно в сильной операторной топологии, то булева алгебра В, состоящая из всех проекторов Е (), о-полна. Следовательно, ее замыкание Bs в сильной топологии полно ( см. лемму XVI 1.3.23) и к Bs применима построенная выше теория кратности. В дальнейшем мы будем предполагать, что Bs не содержит проекторов бесконечной однородной кратности. Мы хотим показать, что при этом условии оператор Q подобен ( в некотором уточняемом ниже смысле) нормальному оператору в гильбертовом пространстве. Не стремясь к излишней общности, мы ограничимся случаем, когда алгебра В полна и удовлетворяет условию счетности цепей. Оба эти условия заведомо выполняются в случае сепарабельного пространства Ж, так что до конца этого параграфа Ж предполагается сепарабельным. [9]
Любой оператор из слабо замкнутой операторной алгебры, порожденной спектральным оператором скалярного типа и проекторами его разложения единицы, является спектральным оператором скалярного типа. [10]
Когда все операторы в слабо замкнутой алгебре, порожденной т, являются спектральными операторами скалярного типа. [11]
Дальнейшие рассмотрения будут относиться к тому случаю, когда все операторы данного коммутирующего семейства являются спектральными операторами скалярного типа. Поскольку каждый оператор скалярного типа содержится в сильном ( даже равномерном) замыкании алгебры, порожденной проекторами его разложения единицы, задача настоящего параграфа сводится к описанию операторов в сильном ( или слабом) замыкании операторной алгебры, порожденной булевой алгеброй проекционных операторов. [12]
Каждый оператор из слабо замкнутой операторной алгебры, порожденной о-полной булевой, алгеброй проекторов в В-пространстве, является спектральным оператором скалярного типа. [13]
Тогда f - S ( f) является изоморфизмом В-алгебры ЕВ ( Л, S) и полной В-алгебры спектральных операторов скалярного типа. [14]
Каждый оператор в равномерно замкнутой алгебре, порожденной ограниченной булевой алгеброй проекционных операторов в слабо полном В-пространстве, является спектральным оператором скалярного типа. [15]