Cтраница 2
Любой оператор из слабо замкнутой операторной алгебры, порожденной спектральным оператором скалярного типа и проекторами его разложения единицы, является спектральным оператором скалярного типа. [16]
Итак, 0 ( Л ( к) ( - оо, 0 ] а0 ( Л), хотя Л и не является спектральным оператором скалярного типа. [17]
Из предыдущей леммы видно, что отображение / - - S ( /) является непрерывным гомоморфизмом ЕВ ( Л, 2) на алгебру спектральных операторов скалярного типа. [18]
Поэтому из теоремы 6 можно заключить, что если ab Ф 0, то оператор Л является спектральным тогда и только тогда, когда а и Ь пропорциональны, а в этом случае Л является спектральным оператором скалярного типа. [19]
Если существует такое счетно аддитивное разложение единицы Е на ст-поле борелевских подмножеств плоскости, что Т Т ( /) в смысле определения 10, где / ( z) z, то Т называется спектральным оператором скалярного типа. [20]
Тогда существует такое положительное число s s ( p D c), зависящее только от p D c, что если А е, то оператор Т ф ( Л) подобен оператору Т и, следовательно, является спектральным оператором скалярного типа. [21]
Тогда существует такое положительное число е е ( р, D, с), зависящее только от р, D и с, что если А е, то оператор Т ф ( Л) подобен оператору Т и, следовательно, является спектральным оператором скалярного типа. [22]
Тогда существует такое положительное число е е ( р, D), зависящее только от р и D, что если А е ( р, D), то операторы Т и Т ф ( А) подобны и, следовательно, Т ср ( Л) является спектральным оператором скалярного типа. [23]
Если Т - спектральный оператор скалярного типа, то обобщенные собственные векторы являются просто собственными векторами в обычном смысле. [24]
Допустим, что 21 топологически и алгебраически изоморфна некоторой В-алгебре ограниченных непрерывных функций. Тогда любой оператор из 21 является спектральным оператором скалярного типа. [25]
Применяя теорему 1, мы видим, что если Л 6 21 и величина Л достаточно мала, то операторы Т и Т ф ( Л) подобны. Так как Т, очевидно, является спектральным оператором скалярного типа, то и Т р ( Л) - спектральный оператор скалярного типа. [26]
Пусть В - ограниченная булева алгебра проекторов в слабо полном пространстве. Тогда каждый оператор из слабо замкнутой алгебры, порожденной В, является спектральным оператором скалярного типа. [27]
Тогда Т - спектральный оператор, спектр которого представляет собой объединение множества А, О А-оо и конечного множества точек, не лежащих на полуоси [ 0, оо); каждая из этих точек является полюсом резольвенты оператора Т, а соответствующий проектор конечномерен. Сужение Т на Е ( ( 0, оо); Т) является спектральным оператором скалярного типа. [28]
Применяя теорему 1, мы видим, что если Л 6 21 и величина Л достаточно мала, то операторы Т и Т ф ( Л) подобны. Так как Т, очевидно, является спектральным оператором скалярного типа, то и Т р ( Л) - спектральный оператор скалярного типа. [29]
Прежде всего мы дадим определение замкнутого спектрального оператора, его разложения единицы и покажем, что разложение единицы определяется однозначно. Затем будет развито функциональное исчисление: сначала для аналитических функций от общих спектральных операторов, потом для произвольных неограниченных борелевских функций от спектральных операторов скалярного типа. Будет показано, что связь между спектральным оператором общего вида и его скалярной частью в случае неограниченных операторов является не столь жесткой, как для ограниченных операторов. Глава завершается теоремой, устанавливающей достаточные условия спектральности неограниченного оператора; эти условия будут использованы при доказательстве основного результата следующей главы. [30]