Cтраница 2
Отмеченное свойство ковариантов выявляет еще одну важную характеристику, показывающую, что коварианты ( следовательно, комплексные компоненты тензора) обладают определенной индивидуальностью, и позволяющую рассматривать их независимо друг от друга как относительно алгебраических операций, так и при применении операций ковариантного дифференцирования. [16]
Гравитационный потенциал должен подчиняться закону преобразования коэффициентов связности, если мы взяли егокак Г т а построенная из него и его производных величина гравитационной напряженности Д ХР (5.5.21) - истинный тензор. Поэтому мы можем определить операцию ковариантного дифференцирования с помощью гравитационных потенциалов, не предполагая, что введенные таким образом коэффициенты связности конструируются из производных метрического тензора, иными словами, не предполагая априори, что ковариантная производная метрического тензора равна нулю. Чтобы связать гравитационное поле с геометрическими характеристиками мира, достаточно ( и необходимо, вероятно) приравнять нулю ковариантную производную метрического тензора. [17]
Таким образом, объекты Т ( dA / dqv) и Т ( dAa / dqP) не являются тензорами. Для того чтобы правильно определить операцию ковариантного дифференцирования, воспользуемся принципом эквивалентности: тензор, определенный в геодезических координатах, является тензором в любых других координатах. [18]
Задачи разыскания геодезических линий, определения операций ковариантного дифференцирования и параллельного переноса вектора на поверхности также относятся к внутренней геометрии. При изгибании поверхности, не сопровождаемом изменением длин линий на ней, перечисленные величины остаются неизменными - они представляют инварианты изгибания. Нормальная кривизна не является, конечно, инвариантом изгибания. Этим объясняется, что коэффициенты второй квадратичной формы принципиально не могут быть вычислены при задании только метрического тензора. Их определение было связано с введением вектора нормали т поверхности. [19]
Кроме того, как нетрудно видеть, на ковариантное дифференцирование распространяется правило обычного дифференцирования произведения. Отметим, что операция ковариантного дифференцирования введена для компонент вектора и тензоров. [20]