Cтраница 2
В работе В. В. Лохина ( 1963) было отмечено удобство классификации анизотропных сред по их точечным группам симметрии. Показано, что любой тензор, инвариантный относительно данной точечной группы, можно представить в виде линейной комбинации тензоров, составленных при помощи тензорных операций из некоторого минимального набора тензоров. Показано, что для построения тензорных функций необходимо и достаточно знание полной системы функционально независимых совместных инвариантов рассматриваемых тензоров и тензорных аргументов. [16]
Пусть имеется какое-нибудь соотношение между тензорами, написанное при помощи введенных нами тензорных операций. Если выбран базис, ему соответствуют. Тензорные операции инвариантны в том смысле, что соотношения между компонентами выглядят одинаково, каков бы ни был базис. [17]
Аналогично, можно построить и поле C h; lp aajl T. Первая операция называется операцией опускания индекса, вторая - поднятием индекса. Эти операции - тензорные, так как являются композицией двух тензорных операций: умножения и свертки тензоров. [18]
Рассмотрим детерминант матрицы линейного преобразования. Теперь мы выразим этот инвариант при помощи тензорных операций. [19]
Рассмотрим детерминант матрицы линейного преобразования. Теперь мы выразим атот инвариант при помощи тензорных операций. [20]
Рассмотрим детерминант матрицы, линейного преобразования. Теперь мы выразим этот инвариант при помощи тензорных операций. [21]
Пусть в координатах ( х) оператор симметричен, т.е. Cj С. Допустим, что и в любых других координатах С ( С) Т - Если А - матрица Якоби, то С1 АСА 1, АСА 1 ( АСА-1 1, т.е. ВС СВ, где В А1 А. Ясно, что матрицы В и С не всегда коммутируют. Если матрица Якоби ортогональна, то перестановка индексов г и j является тензорной операцией. [22]
J, а нижние - с помощью ( J 1) 7 ( см. выше), а эти матрицы, вообще говоря, различны. Здесь мы поменяли местами верхний и нижний индексы. На языке матрицы С это условие выглядит так: С Ст. Допустим, что и в любой другой системе, выполняется то же соотношение: С. Итак, наше условие эквивалентно условию коммутирования матриц В и С, что выполняется далеко не всегда. АТА Е, то перемена местами индексов г и j была бы тензорной операцией. [23]