Cтраница 2
Согласно теореме 4.5.2, такой коммутатор сам есть линейный оператор. Значит, сумма второго и третьего слагаемого в тождестве Якоби не содержит вторых частных производных от - Первое слагаемое левой части тождества таких производных также не содержит. Вместе с тем по определению скобки Пуассона каждое слагаемое содержит множителем частные производные второго порядка от какой-либо функции р, ф или х - Полученное противоречие показывает, что все члены левой части тождества Якоби взаимно уничтожаются. [16]
Мы дадим обобщение локальной теореме существования, известное под названием теоремы Фробениуса. Доказательство будет сведено к стандартному случаю, изученному в гл. Читатель заметит, что для понимания доказательства необходимо знать только определение скобки от двух векторных полей. Удобно также привести формулировки в терминах дифференциальных форм, для понимания которых необходимо знать лишь локальное определение внешнего дифференцирования. Однако мы с самого начала доказываем эквивалентность условий на дифференциальные формы и условий на векторные поля и в дальнейшем не возвращаемся к этому вопросу. [17]