Cтраница 1
Определение аналитической функции предполагает ее однозначность в области D. Так как определение производной / ( г) формально совпадает с определением производной для функций действительного переменного и так как обычные свойства алгебраических действий и предельного перехода сохраняются при переходе к функциям комплексного переменного, то сохраняются обычные правила дифференцирования, известные для функций действительного переменного. [1]
Это определение аналитической функции принадлежит К - Вейерштрассу. Две аналитические функции по определению равны тогда и только тогда, когда их исходные элементы эквивалентны. Этот элемент называется также ростком аналитической функции. Эквивалентные элементы порождают одну и ту же аналитическую функцию. Множество значений, которые принимает аналитическая функция F ( z) в точке г, совпадает с множеством тех значений, которые принимают все ее элементы в этой точке. [2]
Приведенное здесь определение аналитической функции отличается от обычно принятого в литературе дополнительным требованием непрерывности производной. Это сделано с целью облегчения последующих доказательств. Кроме того, как это следует из более подробного исследования, математическое содержание понятия аналитической функции при этом не меняется. В частности, можно показать, что при дополнительном требовании непрерывности функции f ( z) в области Q выполнение условий Коши - Римана (1.17) всюду в этой области является необходимым и достаточным для аналитичности f ( z) и непрерывности всех ее производных в области Q. [3]
По поводу данного выше определения разрывной аналитической функции заметим, что множество точек скачка функции f EEBV не является, вообще говоря, замкнутым. [4]
Так как в силу определения аналитической функции правая часть этого равенства обращается в нуль на всех борелевских подмножествах множества Е, то это же имеет место и для левой части. [5]
Получили л задач Гильберта для определения аналитических функций Фй ( г) Не останавливаясь на решении этих задач, допустим, что функции Фй ( г) уже определены. Покажем теперь, как по известным функциям Ф ( г) определить функции у ( z), входящие в представление полианалитической функции. [6]
Эту теорему называют теоремой единственности определения аналитической функции. [7]
Это свойство принималось Рима-ном в качестве определения аналитической функции комплексного переменного; это значит, что такая функция должна иметь для каждого данного значения переменного не только одно или несколько определенных значений, но также для каждого из этих значений и определенную производную. Преимущество этого определения состоит в том, что оно совершенно не зависит от существования аналитического выражения для функции. [8]
Тейлора), то отсюда принятому ранее определению аналитической функции эквивалентно следующее: функция f ( z) называется аналитической в точке z a, если в окрестности этой точки она может быть представлена рядом Тейлора. [9]
В 1842 г. в работе, также не опубликованной в свое время: Определение аналитической функции одного переменного посредством дифференциального уравнения, Вейерштрасс владеет уже идеей аналитического продолжения, которая впоследствии играла основную роль в его построении теории аналитических функций. [10]
Согласно хорошо известной теории, определение желаемых электрических величин сводится в этом случае к определению аналитической функции, которая отображает полусечение полосковой линии в прямоугольник таким образом, что эквипотенциальные линии АС и EG переходят в две противоположные стороны прямоугольника, а линии потока СЕ и GA - в две другие стороны. [11]
Из (6.5.66) и ( 6.5.670 следует, что построение аналитической функции (6.5.68) значительно отличается от определения аналитической функции оператором Шварца по граничным значениям ее действительной части. [12]
Отныне мы будем пользоваться условиями Коши - Римана, или эквивалентным им свойством дифференцируемости, как определением аналитической функции, из которого мы выведем все свойства такой функции. [13]
С разрывными аналитическими функциями мы встречаемся при изучении граничных задач: многие задачи математической физики сводятся к определению аналитических функций по заданным условиям на скачках. Разрывные аналитические функции естественно возникают и при выполнении некоторых операций над непрерывными функциями. [14]
Если существуют полные дифференциалы функции и ( х, у) и v ( x, у), то условия Даламбера - Эйлера являются не толькд необходимыми, но и достаточными для определения аналитической функции. [15]