Cтраница 2
Работа с информацией связана с одной из функций маркетинга на предприятии - аналитической. Определение аналитической функции не означает, что проводится исключительно анализ ситуаций, а включает в себя прежде всего сбор и обработку информации, которая необходима для принятия грамотного, с наименьшей степенью вероятности ошибки управленческого решения. [16]
Теорема о единственности определения аналитической функции позволяет автоматически распространить на комплексную область элементарные функции действительной переменной. [17]
Функция / ( z), дифференцируемая в каждой точке некоторой области D, называется аналитической ( иначе, регулярной или голоморфной) в этой области. Подчеркнем, что это определение аналитической функции предполагает ее однозначность в области D, ибо понятие предела и производной определены выше лишь для однозначных функций. [18]
В предыдущей главе мы ознакомились с основными свойствами конформных отображений и с отображениями, которые осуществляют наперед заданные аналитические функции. Однако при решении практических задач, которые сводятся к конформным отображениям, возникает обратная, несравненно более сложная задача - определение аналитической функции, которая отображает наперед заданную область на одну из канонических областей, например на полуплоскость или на единичный круг. [19]
Заметим, что все теоретические положения, излагаемые ниже, опираются в конечном счете на эту важную теорему, в том числе и упомянутое выше свойство аналитических функций. Чтобы не было сомнения в корректности изложения, заметим, что теорема может быть доказана без ссылки на существование ее про -, изводных только на основании определения аналитической функции. [20]
Легко проверить, что заданная таким способом топология превращает риманову поверхность S в хаусдорфо-во топологическое пространство. Нетрудно убедиться, что непрерывной кривой на римановой поверхности S является функция, аналитическая на кривой Г и обладающая тем свойством, что хотя бы один элемент этой функции совпадает с элементом нашей аналитической функции. Согласно определению аналитической функции любые две точки римановой поверхности S можно соединить непрерывной кривой. Тем самым доказано, что риманова поверхность S является областью. [21]
Легко проверить, что заданная таким способом топология превращает риманову поверхность S в хаусдорфово топологическое пространство. Нетрудно убедиться, что непрерывной кривой на римановой поверхности S является функция, аналитическая на кривой Г и обладающая тем свойством, что хотя бы один элемент этой функции совпадает с элементом нашей аналитической функции. Согласно определению аналитической функции любые две точки римановой поверхности 5 можно соединить непрерывной кривой. Тем самым доказано, что риманова поверхность 5 является областью. [22]
Из выражения (5.72) вытекают два важных свойства аналитических функций. Во-первых, поскольку правая часть соотношения (5.72) определена при всех п, аналитическая функция имеет производные всех порядков. Другими словами, в определении аналитической функции требуется существование только производной первого порядка, но это требование оказывается настолько сильным, что влечет существование производных функции всех порядков. Отметим также, что - все производные аналитической функции сами являются аналитическими функциями. [23]
Сначала сделаем одно замечание, уводящее в несколько другую сторону. Именно, заметим, что для функции, аналитической в данной области D, можно было бы формально определить точку поверхности как пару ( z, Г), где z - точка области Z), а Г - кривая, идущая в точку z из фиксированной точки а. Мы получили бы некоторую область определения аналитической функции, если бы договорились считать две пары ( z, FI) и ( z, Г2) совпадающими в том и только в том случае, когда кривые FI и Г2 гомотопны в области D. Без особого труда можно было бы показать, что определенная таким образом риманова поверхность действительно будет поверхностью в смысле определения § 8 гл. Не будем останавливаться на этом способе определения римановой поверхности, так как дадим сейчас более простое определение, пригодное не только для. [24]
Сначала мы сделаем одно замечание, уводящее нас в несколько другую сторону. Именно, заметим, что для функции, аналитической в данной области D, мы могли бы формально определить точку поверхности как пару ( г, Г), где z - точка области D, а Г - кривая, идущая в точку z из фиксированной точки а. Мы получили бы некоторую область определения аналитической функции, если бы договорились считать две пары ( z, 1) и ( z, Г2) различными в том и только в том случае, когда кривые 1 и Г2 гомотопны в области D. Без особого труда можно было бы показать, что определенная таким образом риманова поверхность действительно будет поверхностью в смысле определения § 8 гл. Мы не будем останавливаться на этом способе определения римановой поверхности, так как дадим сейчас более простое определение, пригодное не только для функций, аналитических в области. [25]
Поэтому функции ех, sin ж, In ж на действительной прямой автоматически порождают соответствующие функции в комплексной плоскости. Когда выдвигаются какие-нибудь дополнительные требования, проблема может оказаться сложной, но принципиально она всегда разрешима. Разложение в степенные ряды позволяет гарантированно расширить область определения аналитической функции до максимальных размеров. [26]