Cтраница 1
Непредикативные определения, наоборот, отличаются наличием в них такого порочного круга. Явление непредикативности встречается также в нек-рых рассуждениях, когда в процессе обоснования нек-рая часть проводимого рассуждения сама рассматривается как объект рассуждения. Именно использование такого тина рассуждений является причиной появления семантич. [1]
Возражения против употребления непредикативных определений в математике впервые определенно были высказаны А. Пуанкаре в 1906 г., ему же принадлежит и сам термин. Пуанкаре заметил, в частности, что в известных парадоксах теории множеств непременно фигурируют непредикативные определения. [2]
Можно пытаться защищать это непредикативное определение, истолковывая его не как определение или создание в первый раз действительного числа и ( при таком истолковании определение совокупности С всех действительных чисел было бы порочным1), а только как описание, которое выделяет это индивидуальное число и из уже существующей совокупности С всех действительных чисел. [3]
Каждая из антиномий § 11 использует непредикативное определение. В парадоксе Рассела ( С) непредикативный процесс бросается в глаза после следующей переработки определения Т Мы разделим множество М всех множеств на две части, из которых первая содержит те элементы, которые содержат самих себя, а вторая ( которая и ееть Г) - те, которые не содержат самих себя. Затем мы помещаем Т ( определенное этим разделением М на две части) обратно в М и спрашиваем, в какую часть М оно при этом попадает. В парадоксе Ришара ( D) совокупность всех выражений русского языка, которые образуют определение функции ( действительного числа или натурального числа), рассматривается как содержащая выражение, стоящее в кавычках и определяемое через эту совокупность. В парадоксе Эпименида ( Е) совокупность всех высказываний разделяется на две части-совокупность всех истинных и совокупность всех ложных высказываний. Высказывание, зависящее от этого разделения, считается затем принадлежащим первоначальной сЪвокупности, когда мы спрашиваем, истинно оно или ложно. [4]
Цермело высказал возражение против отказа от непредикативных определений, ссылаясь на то, что в таком случае пришлось бы отказаться от большей части математики, например от доказательства существования корня алгебраического уравнения. [5]
Пуанкаре [1905-06, 1908] считал, что причина парадоксов лежит в этих непредикативных определениях, а Рассел [1906, 1910] провозгласил это же объяснение в своем принципе порочного круга: никакая совокупность не может содержать элементов, определимых только в терминах этой совокупности, а также элементов, включающих в себя или предполагающих эту совокупность. [6]
В такой системе известные парадоксы не возникают, хотя ею и не исключается возможность непредикативных определений со всеми вытекающими отсюда, последствиями. [7]
Слово предикативный ( definit) означает определимый, поэтому уже само по себе сочетание слов непредикативное определение содержит в себе противоречие. Возможность сформулировать определение имеется не всегда. [8]
Вторую группу составляют системы, аксиомы которых выбраны в связи с каким-либо объяснением парадоксов, например как следствий непредикативных определений. Сюда относятся: разветвленная теория типов Рассела, простая теория типов Т, теории типов с трансфинитными индексами. [9]
Непредикативный характер некоторых определений анализа особенно подчеркивался - Вейлем, который в своей книге Das Kontinuum ( Континуум) [1918] предпринял исследование того, какая часть анализа может быть построена без непредикативных определений. [10]
Замысел, реализованный в Континууме, как раз и состоял в разработке методологии - она приводит к так называемой предикативной иерархии и пути ее формального представления показаны в помещенных в настоящей книге комментариях, - которая позволяет при построении анализа исключить, используя вейлевские дефинициональные принципы, непредикативные определения и тем самым реализовать идеал конструктивности. На первый план при этом выходит проблема осмысленнос-т и математических выражений и существования математических объектов, связываемая с их принципиальной предикативной определимостью. [11]
Первоначальная философскогматематическая концепция Вейля обычно рассматривается как тематически связанная с идеями Анри Пуанкаре, развитыми им в начале века в полемике с Расселом и Гильбертом; в отличие от подходов логицизма и формализма Пуанкаре настаивал на том, что преодоление трудностей обоснования математики ( обусловленных, в частности, антиномиями логики и теории множеств) следует связывать с идеей интуитивной первичности итерационно-индуктивных процессов и недопустимостью в математике ( и логике) так называемых непредикативных определений. Непредикативными, грубо говоря, называются определения, в которых определяемый объект уясняется ( вводится, конструируется) в терминах, предполагающих либо допускающих ( в определяющей части определения) неявную ссылку на него самого. Поскольку непредикативные определения не позволяют в общем случае сводить определяемое к уже введенным понятиям ( объектам) - подразумевают, что определяемое так или иначе известно, - на них можно смотреть как на чреватые ошибкой порочного круга ( о чем так настойчиво говорит Вейль) и в этом смысле считать их неконструктивными. [12]
Пусть множество М и объект т определены таким образом, что, с одной стороны, т является элементом М, а с другой стороны, определение т зависит от М, тогда мы будем говорить, что процесс ( или определение т, или определение М) является непредикативным. Непредикативное определение является порочным2), по крайней мере по виду, так как то, что в нем определяется, принимает участие в своем собственном определении. [13]
В некоторых случаях такое определение может оказаться эквивалентным некоторому другому, уже не содержащему круга. Однако далеко не всякое непредикативное определение может быть заменено эквивалентным предикативным. [14]
Бурали-Форти, Кантора и Рассела) и эпистемологическими - или семантическими ( например, антиномии Ришара и Эпименида), и он заметил, что логические антиномии ( повидимому) исключаются простой иерархией типов, а семантические ( повидимому) не могут появиться внутри символического языка простой теории типов из-за отсутствия в ней тех средств, которые требуются для описания выражений того же языка. Но доводы Рамсея для обоснования непредикативных определений внутри данного типа предполагают понятие совокупности всех предикатов этого типа как существующей независимо от их конструируемости1) или определяемости. Эти доводы были названы теологическими. [15]