Cтраница 2
Математическая индукция, Метод аксиоматический, Множество, Непредикативное определение, Описания операторы, Определение через абстракцию, Определимость, Парадокс, Предикатов исчисление, Рекурсивные функции и предикаты и лит. [16]
Суть в том, что определяемое принимает участие в собственном определении. Однако тот факт, что все известные парадоксы используют непредикативные определения ( объект П в рассмотренных выше задачах также определяется свойствами множества, которому П принадлежит), не гарантирует от возникновения в будущем парадоксов иной природы. [17]
Первоначальная философскогматематическая концепция Вейля обычно рассматривается как тематически связанная с идеями Анри Пуанкаре, развитыми им в начале века в полемике с Расселом и Гильбертом; в отличие от подходов логицизма и формализма Пуанкаре настаивал на том, что преодоление трудностей обоснования математики ( обусловленных, в частности, антиномиями логики и теории множеств) следует связывать с идеей интуитивной первичности итерационно-индуктивных процессов и недопустимостью в математике ( и логике) так называемых непредикативных определений. Непредикативными, грубо говоря, называются определения, в которых определяемый объект уясняется ( вводится, конструируется) в терминах, предполагающих либо допускающих ( в определяющей части определения) неявную ссылку на него самого. Поскольку непредикативные определения не позволяют в общем случае сводить определяемое к уже введенным понятиям ( объектам) - подразумевают, что определяемое так или иначе известно, - на них можно смотреть как на чреватые ошибкой порочного круга ( о чем так настойчиво говорит Вейль) и в этом смысле считать их неконструктивными. [18]
Поэтому высказываниям относительно значений F ( XQ) можно присвоить порядок, на единицу больший, чем порядок ее аргумента. Пуанкаре вместо непредикативного определения значения F ( XQ) ( XQ e R) использовал принадлежащий более широкому множеству аргумент второго порядка, для которого определение ( дефиниция) значения F ( XQ) предикативно. [19]
Возражения против употребления непредикативных определений в математике впервые определенно были высказаны А. Пуанкаре в 1906 г., ему же принадлежит и сам термин. Пуанкаре заметил, в частности, что в известных парадоксах теории множеств непременно фигурируют непредикативные определения. [20]
Внимательное рассмотрение простейших построений классич. К таким парадоксам приводит, напр. Трудности, связанные с непредикативными определениями, являются одной из причин постановки острейших проблем логич. К числу таких конструкций относится, напр. Вейль, Лоренцен), в к-рой мн. [21]
Бурали-Форти, Кантора и Рассела) и эпистемологическими - или семантическими ( например, антиномии Ришара и Эпименида), и он заметил, что логические антиномии ( повидимому) исключаются простой иерархией типов, а семантические ( повидимому) не могут появиться внутри символического языка простой теории типов из-за отсутствия в ней тех средств, которые требуются для описания выражений того же языка. Но доводы Рамсея для обоснования непредикативных определений внутри данного типа предполагают понятие совокупности всех предикатов этого типа как существующей независимо от их конструируемости1) или определяемости. Эти доводы были названы теологическими. Интересный план обоснования непредикативных определений внутри данного типа, предложенный Лангфордом [1927] и Карна-пом [1931-32], также не свободен от трудностей. [22]
Я называю соответствие предикативным, если лежащая в его основе классификация предикативна. Что же касается классификации, то я называю ее предикативной, если она не изменяется от введения новых элементов. В этом смысле правило соответствия Ришара не предикативно; более того, введение предложенного им правила соответствия изменяет классификацию утверждений на имеющие значение и на не имеющие значения. То, что в этом случае имеется в виду под атрибутом предикативный, лучше всего пояснить на примере. Если мне требуется упорядочить множество, распределив образующие его предметы по некоторому числу коробок, то могут представиться два случая: либо упорядоченные предметы в конце концов окажутся на своих местах, либо мне придется всякий раз, когда я буду классифицировать новый предмет, извлекать какой-то другой предмет ( или другие предметы) из той коробки ( или тех коробок), в которой он ( или они) находились. Хороший пример непредикативного определения привел Рассел: пусть А - наименьшее число, для определения которого требуется более ста немецких слов. Число А должно существовать, так как с помощью ста слов можно определить лишь конечное количество чисел. Но определение, которое мы выше дали числу А, содержит меньше ста слов; таким образом, число А и определимо, и неопределимо. [23]