Cтраница 2
Конечная определенность ( достаточность) ростка, грубо говоря, означает, что он определяется с точностью до гладких замен координат своей струей. Для конечной определенности ростка необходима и достаточна конечность его коразмерности. [16]
Применение правил конечной определенности станет столь же обычным делом, каким является сейчас применение их частного случая - того факта, что положительная определенность матрицы Гессе влечет минимум. Совершенно независимо от успеха или неудачи теперешних многообещающих попыток, таких как исследования Зимана [ 1571 и Кука в эмбриологии, биология не в большей степени забудет о теории катастроф, чем она забудет о математическом анализе. [17]
Для читателей, желающих применять теорию катастроф к сложным ситуациям в жестких науках и имеющих доступ к хорошей вычислительной машине, мы приводим здесь написанную на Алголе программу, которая выполняет наиболее важные вычисления гл. Проверка на обычную конечную определенность, связанная с использованием теоремы 8.4, более трудоемка, но обещано, что соответствующая экономная программа появится еще до выхода этой книги в свет. Из соображений алгебраического удобства постоянный многочлен 1 включен в вычисления ( см. обсуждение этого вопроса в § 6 гл. [18]
Вообще говоря, b может быть и многомерным. Рассуждение, использующее конечную определенность, показывает, что вопросы сходимости могут быть оставлены в стороне; но доказательство того, что то, что нужно аппроксимировать, существует, требует топологических методов типа описываемых в следующем параграфе. Иногда ( как это имеет место для эйлерова стержня) правильные результаты получаются с меньшим разложением, чем такое, и тот факт, что часто достаточно уже первого члена, помог всей теории начаться два века назад, а затем помог ей расцвести. Сводка приемов, дающих возможность заранее узнать, как много членов разложения потребуется, принадлежит той монографии о вычислительных методах, о которой упомянуто во введении к гл. [19]
Этого недостаточно, поскольку образующее разбиение, получаемое по теореме Кригера, не обязано быть бернуллиевским. Здесь еще надо использовать конечную определенность любого разбиения пространства состояний сдвига Бернулли ( см. разд. [20]
Если / не является - определенной ни для какого k, то среди отсутствующих будут полиномы всех порядков и коразмерность будет бесконечной. Таким образом, условия конечной коразмерности и конечной определенности эквивалентны. [21]
Все эти 3 алгебры конечно порожденные. Третья алгебра частичная, а для частичных алгебр понятие конечной определенности нами выше вообще не вводилось. [22]
В то же время в классе S-полугрупп существуют такие, которые не являются конечно определенными. Вопрос о сложности описания соотношений в S-полу-группах изучался в [24, 27, 44], в этих работах получен алгоритмический критерий конечной определенности - полугруппы, заданной словесным представлением. С его помощью можно показать, что, например, Sf-полугруппа, заданная образующими ia, ab, ba, bb, не является конечно определенной. Подобный пример с менее чем 4 образующими невозможен: как показано в [5], все - полугруппы с тремя и менее образующими конечно определены. В [9] найдены все представления Sf-полугрупп с тремя образующими неприводимыми системами определяющих соотношений. [23]
Эти свойства доказаны в [39], где также доказана теорема Шеннона - Макмиллана для r - энтропии, являющаяся теоремой второго порядка по сравнению с обычной теоремой. Эта г-энтропия также используется при доказательстве теоремы об изоморфизме для таких действии ( аналог теоремы 4 39, в которой бернуллиевость заменена на конечную определенность) методами, близкими к применяемым в гл. [24]
Само по себе определенным должно быть в каждый данный момент не только наличное число небесных тел, но и общее число всех существующих в мире мельчайших самостоятельных частей материи. Всякая реальная разде-ленность всегда обладает конечной определенностью и должна ею обладать, ибо иначе получится противоречие сосчитанной бесчисленности. По той же причине не только должно быть определенным число сделанных уже Землей оборотов вокруг Солнца, хотя это число и неизвестно нам, но и все периодические процессы природы должны были иметь какое-нибудь начало, а всякая дифференциация, все следующие друг за другом многообразия природы должны корениться в некотором равном самому себе состоянии. Такое состояние может без противоречия мыслиться существовавшим от века, но и это представление было бы исключено, если бы время само по себе состояло из реальных частей, а не делилось, напротив, произвольно нашим рассудком, путем одного только идеального полаганпя возможностей. Иначе обстоит дело с реальным и внутренне-неоднородным содержанием времени; это действительное наполнение времени поддающимися различению фактами, а также формы существования этой области принадлежат - именно благодаря своей различности - к тому, что поддается счету. Если ыы мысленно представим себе такое состояние, которое лишено изменений и в своем равенстве самому себе не проявляет никаких различий в следовании, то и более частное понятно времени превратится в более общую идею бытия. Что должно означать это накопление пустой длительности, этого нельзя себе даже представить. [25]
Само по себе определенным должно быть в каждый данный момент не только наличное число небесных тел, но и общее число всех существующих в мире мельчайших самостоятельных частей материи. Всякая реальная разде-ленность всегда обладает конечной определенностью и должна ею обладать, иоо иначе получится противоречие сосчитанной бесчисленности. По той же причине не только должно быть определенным число сделанных уже Землей оборотов вокруг Солнца, хотя это число и неизвестно яам, но и все периодические процессы природы должны были иметь какое-нибудь начало, а всякая дифференциация, все следующие друг за другом многообразия природы должны корениться в некотором равном самому себе состоянии. Такое состояние может без противоречия мыслиться существовавшим от века, но и это представление было бы исключено, если бы время само по себе состояло из реальных частей, а не делилось, напротив, произвольно нашим рассудком, путем одного только идеального полагания возможностей. Иначе обстоит дело с реальным и внутренне-неоднородным содержанием времени; это действительное наполнение времени поддающимися различению фактами, а также формы существования этой области принадлежат - именно благодаря своей различности - к тому, что поддается счету. Если мы мысленно представим себе такое состояние, которое лишено изменений и в своем равенстве самому себе не проявляет никаких различий в следовании, то и более частное понятие времени превратится в более общую идею бытия. Что должно означать это накопление пустой длительности, этого нельзя себе даже представить. [26]
Само по себе определенным должно быть в каждый данный момент не только наличное число небесных тел, но и общее число всех существующих в мире мельчайших самостоятельных частей материи. Всякая реальная разделенность всегда обладает конечной определенностью и должна ею обладать, ибо иначе получится противоречие сосчитанной бесчисленности. По той же причине не только должно быть определенным число сделанных уже Землей оборотов вокруг Солнца, хотя это число и неизвестно нам, но и все периодические процессы природы должны были иметь какое-нибудь начало, а всякая дифференциация, все следующие друг за другом многообразия природы должны корениться в некотором равном самому себе состоянии. Такое состояние может без противоречия мыслиться существовавшим от века, но и это представление было бы исключено, если бы время само по себе состояло из реальных частей, а не делилось, напротив, произвольно нашим рассудком, путем одного только идеального полагания возможностей. Иначе обстоит дело с реальным и внутренне-неоднородным содержанием времени; это действительное наполнение времени поддающимися различению фактами, а также формы существования этой области принадлежат - именно благодаря своей различности - к тому, что поддается счету. Если мы мысленно представим себе такое состояние, которое лишено изменений и в своем равенстве самому себе не проявляет никаких различий в следовании, то и более частное понятие времени превратится в более общую идею бытия. Что должно означать это накопление пустой длительности, этого нельзя себе даже представить. [27]
Такая функция / называется k - определенной в начале, и наша задача заключается в том, чтобы найти условия, при которых это имеет место. R - - R определяется ( в смысле конечной определенности) своей первой ненулевой производной. [28]
Заметим, что доказанная теорема утверждает, что энтро-п я - это полный инвариант для относительных изоморфизмов в классе систем Бернулли с дополняемыми инвариантными разбиениями. Указанную аналогию продолжают глубокие результаты Тувено [156], который пере-лее ттонятие конечной определенности на случай относительных изоморфизмов и доказал аналоги ряда лемм Орнстейна. [29]
Такие ограничения могут возникать в задачах с термодинамическими потенциалами, и это приводит к катастрофам с ограничениями, которыми мы займемся в § 7 гл. В примере из лазерной физики, упоминаемом в конце этого параграфа, имеется линия фазовых переходов второго рода ( типа показанной на рис. 16.9 ( с)), в точках которой обращаются в нуль лишь первые, но не вторые и не третьи производные. Существование границы математически более устойчиво, чем наличие симметрии; оно не может быть разрушено малыми возмущениями. Однако у Томпсона [ 137а ] при получении формулировки соответствующей задачи теории катастроф с ограничениями используется замена переменных, существующая лишь в силу предположенной круговой симметрии, что делает исходную задачу вырожденной, если только эта симметрия не точна. Как и в § 13 предыдущей главы, допущения, принятые с целью упростить суммы, усложняют задачу. Если к гамильтониану, имеющему лишь конечные симметрии рассматриваемой решетки, добавляются члены высшего порядка, то возникает проблема конечной определенности; все что пока можно сказать - это что омбилические катастрофы, связанные с действием разбивающих симметрию членов, приводят к очень запутанной картине поведения, которая лишь в общих чертах близка к тому, что описывается моделью Томпсона. [30]