Cтраница 2
А в методе Ритца довольно естественно, поскольку, как видно из (17.19), метод Ритца по существу основан на теореме о минимуме квадратичного функционала, сформулированной для положительного оператора. Для метода Галеркина и метода наименьших квадратов требование положительной определенности оператора А совершенно излишне. Чтобы переход к системам (17.23) и (17.24) от условий (17.20) и (17.21) соответственно был возможен, достаточно, чтобы оператор А был линейным. Проблемы, касающиеся разрешимости соответствующих последовательностей в этих случаях, естественно, значительно более сложны, чем в рассматриваемом нами. [16]
Она равносильна в том смысле, что если х0 удовлетворяет операторному уравнению, то он минимизирует F ( л) и обратно. Единственность решения операторного уравнения ( задачи минимизации F ( x)) следует из положительной определенности оператора А, а вопрос о существовании решения в приведенных выше условиях является более сложным. [17]
Тогда, используя неравенство Коши - Бу-няковского и ( 54), можно показать, что оператор А является ограниченным оператором. Существование ограниченного оператора В 1, определенного на области значений оператора В, следует из положительной определенности оператора В. [18]
Отметим, что в данном случае граничные условия не являются условиями первой краевой задачи. Поэтому итерационный процесс (3.3.7) изменен и итерации идут и по граничным условиям. Оно основано на положительной определенности оператора задачи, т.е. в данном случае на положительности энергии. [19]
Поскольку оператор с ядром (IV.81) эрмитов, все его собственные значения действительны. Однако с увеличением конверсии р минимальное собственное значение в точке бифуркации обращается в нуль. В зависимости от того, нарушается или нет положительная определенность оператора при переходе р через точку бифуркации, последняя может относиться к одному из двух типов. Первый из них соответствует, спинодальному переходу, в то время как второй - гелеобразованию. [20]
Согласно (IV.84), уравнение (IV.82) имеет два зависящих от п простых корня AI и Аи, которые получаются из равенства нулю квадратного трехчлена в фигурных скобках. В этом пределе определитель (IV.82) в случае s l обращается в нуль только при значениях К А1 1 - р ( 3) / р и К Аи 1 - pfpm. Величина AI 0 во всей области изменения конверсии, за исключением гель-точки, где она обращается в нуль. Поэтому нарушение положительной определенности оператора (IV.81) происходит только на спинодали р рса. [21]
Эти соотношения включают также постоянную Пуассона а, которая важна для применений в теории упругости. Граничные условия (27.10) неустойчивы для бигармонического оператора и соответствуют граничным условиям Неймана для уравнений второго порядка. Эта задача довольно сложна и будет обсуждена в гл. В случае граничных условий (27.8), (27.9) положительная определенность бигармонического оператора на соответствующих множествах функций была доказана без труда. В случае неоднородных граничных условий рекомендуется использовать метод наименьших квадратов на границе ( гл. [22]