Cтраница 3
Поскольку определения и свойства этого общего понятия требуют некоторой предварительной подготовки, рассмотрим свойства определителей второго и третьего порядков, чтобы получить некоторые представления о свойствах определителя n - го порядка по аналогии. [31]
В § 1.6 было дано ( довольно громоздкое) определение 2, обобщающее понятия определителей второго и третьего порядков. Теорема 1 подтверждает правомерность обобщения понятия определителя на случай матрицы размера пхп. Действительно, если пользоваться определением 2 § 1.6, то решение системы выражается формулами, аналогичными ( 2) и ( 3) § 1.6, так что это определение хорошо обобщает понятие определителя второго и третьего порядков. [32]
Предлагаемое обобщение понятия определителя на случай любого порядка п позволяет перенести на определители высшего порядка установленные ранее свойства определителей второго и третьего порядков. Не останавливаясь на доказательствах, перечислим эти свойства определителей любого порядка. [33]
Изложенная выше теория определителей п-го порядка позволяет показать, что эти определители, введенные лишь по аналогии с определителями второго и третьего порядков, подобно последним могут быть использованы для решения систем линейных уравнений. Сначала сделаем, впрочем, одно дополнительное замечание, связанное с разложениями определителей по строке или столбцу; это замечание будет в дальнейшем неоднократно использоваться. [34]
Из приведенных примеров следует, что введенное понятие определителя п-го порядка обобщает известное из курса высшей математики для втузов понятие определителей второго и третьего порядков. [35]
Из приведенных примеров следует, что введенное понятие определителя и-го порядка обобщает известное из курса высшей математики для втузов понятие определителей второго и третьего порядков. [36]
Из приведенных примеров следует, что введенное понятие определителя n - го порядка обобщает известное из курса высшей математики для втузов понятие определителей второго и третьего порядков. [37]
Прежде чем приступить к изучению определителей п-го порядка, необходимо проверить, что при п 2 и п 3 формула ( 6) приводит к уже знакомым определителям второго и третьего порядков. Этот факт легко проверяется. [38]
Таким образом, окончательно можно записать, что для того чтобы система пятого порядка была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительны и определители второго и четвертого порядков были тоже положительны. [39]
В этой главе используются следующие основные понятия: вектор, нулевой вектор, равные векторы, коллинеарные и компланарные векторы, произведение вектора на вещественное число, сумма векторов, противоположный вектор, разность вектороа, линейная комбинация векторов, линейно зависимые векторы ( линейно зависимая система векторов), оазис на плоскости и базис в пространстве, координаты вектора в базисе, радиус-вектор точки, общая декартова система координат, координаты точки, длина вектора, угол между векторами, скалярное произведение двух векторов, проекция вектора на прямую, ортогональный и ортонормированный базисы на плоскости и в пространстве, прямоугольная система координат, ориентация тройки векторов в пространстве, ориентация пары векторов на плоскости, ориентация базиса, векторное произведение двух векторов, смешанное произведение трех векторов, определители второго и третьего порядков. Используются также основные свойства линейных операций, скалярного, векторного и смешанного произведений. [40]
В этой главе используются следующие основные понятия: вектор, нулевой вектор, равные векторы, коллинеарные и компланарные векторы, произведение вектора на вещественное число, сумма векторов, противоположный вектор, разность векторов, линейная комбинация векторов, линейно зависимые векторы ( линейно зависимая система векторов), базис на плоскости и базис в пространстве, координаты вектора в базисе, радиус-вектор точки, общая декартова система координат, координаты точки, длина вектора, угол между векторами, скалярное произведение двух векторов, проекция вектора на прямую, ортогональный и ортонормированный базисы на плоскости и в пространстве, прямоугольная система координат, ориентация тройки векторов в пространстве, ориентация пары векторов на плоскости, ориентация базиса, векторное произведение двух векторов, смешанное произведение трех векторов, определители второго и третьего порядков. Используются также основные свойства линейных операций, скалярного, векторного и смешанного произведений. [41]
Хотя читатель ( из курса аналитической геометрии) уже знаком с определителями второго и третьего порядков, мы будем вести изложение так, чтобы избежать каких-либо ссылок. Знакомство с определителями второго и третьего порядков разве лишь облегчит восприятие излагаемого ниже материала. [42]
Хотя читатель ( из курса аналитической геометрии) уже знаком с определителями второго и третьего порядков, мы будем вести изложение так, чтобы избегнуть каких-либо ссылок. Знакомство с определителями второго и третьего порядков разве лишь облегчит восприятие излагаемого ниже материала. [43]
Сопоставляя четность числа инверсий в этих перестановках со знаком соответствующего члена, заключаем, что и у определителя ( 1) ( второго порядка) и у определителя ( 2) ( третьего порядка) знак плюс имеют члены, у которых перестановка вторых индексов четная, и знак минус - члены, у которых эта перестановка нечетная. Установленную выше закономерность в составлении определителей второго и третьего порядков можно положить в основу обобщения понятия определителя. [44]
Числа аи й 2 а2 ] 722 называются элементами определителя. Используя данную терминологию, можно сказать, что определитель второго порядка есть число, равное разности произведений элементов, расположенных на главной и побочной его диагоналях. [45]