Cтраница 2
Для любой связной односвязной разрешимой группы Ли G типа I существует естественная биекция между множеством G унитарных неприводимых представлений и пространством OnW ( G) оснащенных коприсоединенных орбит. [16]
Классификация коприсоединенных орбит до сих пор не известна и исследование этого вопроса связано с глубокими комбинаторными задачами. [17]
Пусть G - связная группа Ли, ( М, т) - симплектическое G-многооб-разие Пуассона и ц: М - д - соответствующее отображение момента. Для любой коприсоединенной орбиты П С д множество Мц ц - 1 ( Щ будет G-инвариантно. Предположим, что это множество является гладким многообразием и G действует на него так, что все орбиты имеют одну и ту же размерность 3 Тогда множество ( Мп) а G-орбит в Мц также является гладким многообразием и будет обладать канонической симплектической структурой. [18]
Существование симплектической структуры - факт совершенно общий. В частности, коприсоединенные орбиты комплексной группы Ли Gc являются голоморфными сймплектическими многообразиями. Во многих случаях, как было показано в работе Крон-хаймера [ КЗ ], эти многообразия обладают естественной гиперкэ-леровой метрикой. Мы воспроизведем общую конструкцию для регулярной полупростой орбиты - орбиты вида GC / TC, где Gc - комплексная полупростая группа Ли и Тс - максимальный комплексный тор. Компактным аналогом этого многообразия является многообразие флагов G / T - тип орбиты, который выделяется в теореме Бореля - Вейля. [19]
Как мы выяснили ранее, любая коприсоединенная орбита является однородным симплектическим многообразием. Обратное почти верно: с точностью до некоторых алгебраических и топологических оговорок ( см. уточнения ниже) любое однородное симплектическое многообразие является коприсоединенной орбитой. Это утверждение выглядит наиболее естественно в контексте пуас-соновых многообразий. [20]
Еще более важно то, что ответы имеют смысл для произвольных групп Ли и даже для некоторых других более общих объектов. Действительно, методу орбит требуется лишь понятие коприсоединенной орбиты, а это понятие можно определить для очень широкого класса групп. [21]
В этом случае Е G и р определяет на многообразии М - H G G-инвариантную комплексную структуру. Кроме того, М как однородное многообразие изоморфно коприсоединенной орбите Q С g и, следовательно, обладает канонической формой объема. [22]
Метод орбит по-видимому, не оставляет места для дополнительных серий представлений полупростых групп. Действительно, согласно идеологии метода орбит разбиение g на коприсоединенные орбиты соответствует разложению регулярного представления на неприводимые компоненты. [23]
Метод орбит является естественным источником однородных симплектических многообразий ( коприсоединенных орбит), которые могут рассматриваться как фазовые пространства классических механических систем. Заметим, что большинство из них неизоморфны ко-касательным расслоениям и поэтому не соответствуют традиционным механическим системам. [24]
Заметим, что образ однородного G-многообразия Пуассона под действием отображения моментов необходимо является коприсоединенной орбитой. Таким образом, любое однородное G-многообразие Пуассона является накрытием коприсоединенной орбиты. [25]
В теории представлений группы Ли основной интерес связан с G-инвариантными поляризациями однородных симплектических G-многообразий. Мы уже знаем, что последние являются no - существу коприсоединенными орбитами. В этой ситуации геометрические и аналитические проблемы сводятся к чисто алгебраическим. [26]
Эта программа реализуется уже многие годы, но до сих пор далека от завершения несмотря на усилия многих авторов. На сегодняшний день в каталоге Американского математического общества указаны около 700 статей, в которых упоминаются коприсоединенные орбиты, и более 3000 статей, посвященных геометрическому квантованию - физическому двойнику метода орбит. [27]
Как мы выяснили ранее, любая коприсоединенная орбита является однородным симплектическим многообразием. Обратное почти верно: с точностью до некоторых алгебраических и топологических оговорок ( см. уточнения ниже) любое однородное симплектическое многообразие является коприсоединенной орбитой. Это утверждение выглядит наиболее естественно в контексте пуас-соновых многообразий. [28]
Такая группа К может иметь нетривиальный центр С. Так как коприсоединенное представление тривиально на центре, можно заменить К подгруппой К [ К, К ] или одной из фактор-групп К / С, К / С без изменения коприсоединенных орбит. Мы предпочтем последнюю возможность и соответственно предположим, что К - связная компактная группа Ли с конечным центром. [29]
В действительности ситуация более деликатная. Известно, что функция энергии для классических систем определена с точностью до аддитивной константы, тогда как для квантовой системы энергия определяется единственным образом и обычно неотрицательна. Это означает, что правильный классический аналог квантовых систем с группой симметрии G должен быть скорее G-многообразием Пуассона, чем симплектическим многообразием. Таким образом, мы приходим к требуемому соответствию между унитарными неприводимыми представлениями и коприсоединенными орбитами. [30]