Первая бифуркация

Cтраница 2

Это - первое критическое значение параметра А, определяющее момент первой бифуркации удвоения периода: появления 2-цикла. Проследим за появлением последующих бифуркаций с помощью приближенного приема, позволяющего выяснить некоторые качественные особенности процесса, хотя и не дающего точных значений характерных констант; затем будут сформулированы точные утверждения. [16]

Таким образом, термодинамический порог самоорганизации достигается, когда термодинамическая ветвь претерпевает первую бифуркацию. В точке бифуркации динамика системы определяется существующими в системе нелинейностями. Когерентное поведение больших ансамблей атомов или молекул становится возможным и при благоприятных условиях приводит к образованию диссипативных структур. Можно сказать также, что за термодинамическим порогом самоорганизации мы вступаем в область синергетики: огромное число степеней свободы макроскопических систем резко сокращается. Миллиарды и более молекул оказываются подчинены, если воспользоваться терминологией Хакена [1.54], небольшому числу мод. [17]

Однако и в этом случае, насколько нам известно, не получен ответ на следующий вопрос: что происходит в типичном семействе при первой бифуркации, выводящей из множества систем Морса-Смейла. [18]

Преобразование ( 32 5) имеет неподвижную точку - корень уравнения xt - 1 - Кх. Это - первое критическое значение параметра Я, определяющее момент первой бифуркации удвоения периода: появления 2-цикла. Проследим за появлением последующих бифуркаций с помощью приближенного приема, позволяющего выяснить некоторые качественные особенности процесса, хотя и не дающего точных значений характерных констант; затем будут сформулированы точные утверждения. [19]

Однако для прогноза возможности вторичных бифуркаций и выяснения типов рождающихся решений можно использовать бифуркационные методы исследования также одномерных ( однородных) режимов, но по отношению к двум параметрам - изучать, как принято говорить, бифуркации коразмерности два. Оказывается, что если в плоскости двух параметров происходит пересечение бифуркационных линий, то в окрестности точки пересечения существуют линии, на которых происходят вторичные бифуркации режимов, родившихся в результате первых бифуркаций. [20]

Таким образом, анализ, казалось бы, простейшей задачи об источнике вскрывает удивительный факт - существование счетного числа стационарных решений при всех значениях числа Рейнольд-са и ветвление этих решений от осесимметричпого режима. Это - новое, можно сказать, парадоксальное свойство уравнений Навье - Стокса. Первая бифуркация происходит в режиме стока при Ке ] - Зя, бифуркации с т 3 происходят в режиме источника. Наиболее поразительно, что и значение Re 0 ( т 2) является бифуркационным. [21]

Бифуркационная диаграмма для переменной X в зависимости от параметра А. [22]

В состоянии системы происходят флюктуации, которые вблизи точки бифуркации непредсказуемым образом влияют на выбор системой дальнейшего пути по той или иной ветви. Если система выбирает какую-то ветвь, то при дальнейшем возрастании А на ней возможна следующая бифуркация, и таким образом может возникнуть каскад бифуркаций. Первая бифуркация возникает на термодинамической ветви. Далее при последовательных бифуркациях на каждой из ветвей возможно возникновение как устойчивых, так и неустойчивых ветвей. [23]

Эволюция спектра при переходе к хаосу выглядит следующим образом. Сначала в нем присутствуют только гармоники, отвечающие основному периоду. Далее, после первой бифуркации удвоения появляется субгармоническая составляющая, затем каждая последующая бифуркация сопровождается возникновением все новых субгармоник точно в середине интервала между существовавшими ранее спектральными компонентами. В критической точке представлены субгармоники всех уровней. В некоторых узких областях по параметру спектр вновь делается дискретным, что соответствует окнам периодичности, а затем опять возникает хаос. [24]

Выше было показано, что пространственная самоорганизация системы дефектов при пластической деформации кристаллов может быть представлена как неустойчивость, нарушающая симметрию, и появляется в результате бифуркации термодинамической ветви. Приведены кинетические уравнения, описывающие временное поведение такой системы, содержащие коэффициенты диффузии. Отмечено, что процессы диффузии нельзя рассматривать как носители коллективных мод структурообразования. Отмечалось также, что после первой бифуркации система проявляет множественность решений уравнений состояния, которые возникают при переходе параметра В через критические значения. [25]

Страницы: 1 2