Последовательная бифуркация

Cтраница 2

Набор Мандельброта на комплексной плоскости ( z - z2 c.| Пыль Кантора. [16]

Бронхи человеческих легких автомодельны в течение 15 последовательных бифуркаций, или - двоения. Набор Мандельброта открывает новые перспективы исследований, применительно как к рынкам, так и к сверхсложной работе нашего мозга. [17]

Другое направление в попытках понять природу турбулентности состояло в поисках ответа на вопрос - как возникает турбулентность, если постепенно увеличивать число Рейнольдса, начав от малых значений, когда течение заведомо ламинарное. В 1944 г. была опубликована статья советского физика Л.Д.Ландау ( 1908 - 1968) К проблеме турбулентности. В этой замечательной для своего времени статье Ландау предположил, что турбулентность возникает в результате большого числа ( каскада) последовательных бифуркаций, каждая из которых состоит в появлении колебаний с новой частотой. Вновь возникающие частоты в типичном случае находятся в иррациональном соотношении с ранее возникшими частотами. Поэтому данную картину возникновения турбулентности называют сценарием Ландау-Хопфа. [18]

Бифуркационная диаграмма для переменной X в зависимости от параметра А. [19]

В состоянии системы происходят флюктуации, которые вблизи точки бифуркации непредсказуемым образом влияют на выбор системой дальнейшего пути по той или иной ветви. Если система выбирает какую-то ветвь, то при дальнейшем возрастании А на ней возможна следующая бифуркация, и таким образом может возникнуть каскад бифуркаций. Первая бифуркация возникает на термодинамической ветви. Далее при последовательных бифуркациях на каждой из ветвей возможно возникновение как устойчивых, так и неустойчивых ветвей. [20]

Когда наблюдается явление удвоения периода, в начальном состоянии система совершает основное периодическое движение. Затем, по мере изменения какого-либо параметра эксперимента - назовем его X - происходит бифуркация или изменение движения на периодическое с периодом, в два раза превышающим период исходных колебаний. С дальнейшим изменением X система подвержена последовательным бифуркациям, при каждой из которых период удваивается. Замечательное свойство этого процесса в том, что крчтгческие значения X, при которых происходят последовательные удвоения периода, подчиняются при - ос следующему автомодельному соотношению ( см. также гл. [21]

Во-вторых, удар по традиционным представлениям относительно свойств макроскопического мира был нанесен той легкостью, с которой сценарии эволюции детерминированных макроскопических систем ( например, систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями) порождают нерегулярные апериодические решения, называемые хаотическими или турбулентными. Такие решения, полученные одновременно с развитием неравновесной теории устойчивости, вызвали потрясение в физических и биологических науках: новые режимы разительно отличались от сценария, предложенного Л. Д. Ландау для объяснения гидродинамической турбулентности, а именно возбуждения бесконечного числа частотных мод в непрерывной системе. В первом альтернативном сценарии, предложенном Рюэлем и Такенсом [1.17], использованы только три частоты. Шумное поведение в этом сценарии было связано со странным аттрактором, возникавшим после трех последовательных бифуркаций рождения цикла. Нельзя не удивляться тому, что странный аттрактор, порождающий турбулентный режим, может существовать уже в системах столь малой размерности, а именно в системах, описываемых тремя обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка. [22]

Со времени ее первого издания интерес к необратимым процессам продолжает экспоненциально возрастать. Ныне ни у кого нет сомнений в том, что необратимые процессы играют, решающую роль в большинстве областей науки. Сточки зрения излагаемой в этой монографии, особенно важно подчеркнуть, что необратимость приводит к глубоким изменениям понятий пространства, времени и динамики. Даже в простейших ситуациях, например в неустойчивости Бенара, легко прослеживаются нарушения пространственной симметрии, возникающие, по-видимому, как следствия необратимости. Химические часы обнаруживают нарушение временной симметрии, поскольку роль двух различных моментов временя становится существенно различной. Развитие самой природы во времени происходит в результате последовательных бифуркаций. [23]

Страницы: 1 2