Комплексная бифуркация

Cтраница 1

Диаграмма стационарных решений задачи 1 для нескольких значений параметра В, у - - оо, Л 0 5, Р 0 8, вс 0. сплошные линии - устойчивые решения, штриховые линии - неустойчивые решения. [1]

Читатель может сопоставить кривую точек комплексной бифуркации и точки потери устойчивости на диаграммах решений, представленных на рис. 5.18. Далее, на рис. 5.19 изображены фазовые портреты системы двух дифференциальных уравнений ( Pl-6), ( Р1 - 7) задачи 1 для нескольких выбранных значений параметров В и Da с диаграммы бифуркаций. [2]

Третьим подходом к определению точек комплексной бифуркации, который мы здесь рассмотрим, является прямой итерационный метод. [3]

Мы называем эти точки точками вторичной комплексной бифуркации. [4]

Схематическое изображение процесса построения кривой точек комплексной бифуркации ( бифуркации Андронова - Хопфа) на бнфуркаци-онной диаграмме; s - устойчивое стационарное решение, п - неустойчивое. [5]

Решение этих уравнений позволяет нам найти точку комплексной бифуркации. Для нахождения решения можно воспользоваться методом Ньютона, а для вычисления элементов матрицы Якоби в методе Ньютона можно частично ( для нахождения производных от / n i и fn 2) использовать разностные формулы. Можно использовать и аналитические выражения, однако в случае больших п это может оказаться весьма трудоемким. [6]

Далее в § 5.5 описываются методы нахождения точек комплексной бифуркации ( бифуркации Хопфа), когда возникают решения типа предельного цикла. [7]

Здесь же обсуждаются методы определения устойчивости, нахождения точек ветвления решений ( вещественных и комплексных бифуркаций), а также методы построения бифуркационных диаграмм. Далее рассматриваются способы вычисления и определения устойчивости периодических решений, построение зависимостей периодических решений от параметра; проанализированы также механизмы ветвления периодических решений. Заключительная часть главы посвящена исследованию хаотических аттракторов, построению эволюционных диаграмм и методам нахождения периодических решений неавтономных систем. Здесь же кратко описаны стандартные численные методы моделирования динамических систем. [8]

Схематическое изображение процесса построения кривой точек поворота на бифуркационной диаграмме. [9]

Построив в параметрической плоскости р - а кривые точек поворота и кривые точек комплексной бифуркации, мы получаем так называемую бифуркационную диаграмму. [10]

Эффективность различных методов для задачи 2. Здесь же указано число начальных приближений ( из общего числа 1000 приближений, выбранных случайным образом, при которых метод Ньютона сходится к какому-либо из трех решений. Значения параметров. у 1000, В 12, PI р2 2, вс1 еС2 О, Л 0 8, Da4 0 2, а Dai. [11]

Методы, рассмотренные в данном пункте, легко обобщаются на случай нахождения точек комплексной бифуркации для дифференциальных уравнений с частными производными параболического типа. Это обобщение будет проведено в гл. [12]

Эволюционная диаграмма задачи 8. N 2, Л 2, В 6, р. /. 2 0 1. а., 0 006 - 2 / 50, 6 D, 1 5 - 2 - / 50. ТБХ - точка бифуркации Андронова - Хопфа, НСР - неоднородное стационарное решение, ОСР - однородное стационарное решение, - однородное периодическое решение, О - неоднородное периодическое решение, S - старт при t 0. [13]

При дальнейшем увеличении DI происходит перескок на неоднородное стационарное решение, затем в точке комплексной бифуркации появляется неоднородное устойчивое периодическое решение. Это решение через каскад бифуркаций, удваивающих период, порождает хаотическое решение, которое в конце концов утрачивает устойчивость, н мы вновь получаем однородное периодическое решение. [14]

Нахождение точек комплексной бифуркации для задачи 1. [15]

Страницы: 1 2