Cтраница 2
Пусть система с несколькими степенями свободы находится под действием гармонического параметрического возбуждения. При слабой связи между обобщенными координатами области комбинационных резонансов могут оказаться уже областей простых резонансов. Напротив, если диагональные элементы матрицы F в главных осях матрицы А-ХС равны нулю или малы по модулю по сравнению с недиагональными элементами, то области простых резонансов будут уже областей комбинационных резонансов того же порядка. [16]
Далее матрица А-1, обратная матрице А, имеет те же главные оси, что и А. Матрицы, имеющие различные главные оси, не могут быть коммутативны. Матричное умножение, вообще говоря, некоммутативно по той причине, что две матрицы в общем случае имеют произвольно ориентированные главные оси. Если же главные оси матриц сомножителей одинаковы, то умножение становится коммутативным. [17]
Тот факт, что в новой системе координат матрица А заменяется диагональной матрицей А, показывает, что преобразование к главным осям имеет глубокое влияние на А, преобразуя эту матрицу в особенно желательную форму, а именно в чисто диагональную форму. Уравнения соответствующей системы разделяются по переменным и разрешаются непосредственно. С другой стороны, такое приведение матрицы к диагональной форме требует предварительного определения главных осей, мто вообще нелегко выполнить. Тем не менее метод преобразования координат является исключительно важным средством матричного исследования. Если мы обладаем методом получения главных осей матрицы в каком-нибудь довольно грубом приближении, то хотя операция UAU не превратит А в диагональную форму, но она выделит по величине диагональные элементы сравнительно с остальными элементами. Такая матрица представляет большие преимущества при численных расчетах, так как матричные задачи, соответствующие такой матрице, могут быть численно решены с помощью последовательности быстро сходящихся итераций. [18]
Тот факт, что в новой системе координат матрица А заменяется диагональной матрицей Л, показывает, что преобразование к главным осям имеет глубокое влияние на А, преобразуя эту матрицу в особенно желательную форму, а именно в чисто диагональную форму. Уравнения соответствующей системы разделяются по переменным и разрешаются непосредственно. С другой стороны, такое приведение матрицы к диагональной форме требует предварительного определения главных осей, что вообще нелегко выполнить. Тем не менее метод преобразования координат является исключительно важным средством матричного исследования. Если мы обладаем методом получения главных осей матрицы в каком-нибудь довольно грубом приближении, то хотя операция UALJ не превратит А в диагональную форму, но она выделит по величине диагональные элементы сравнительно с остальными элементами. Такая матрица представляет большие преимущества при численных расчетах, так как матричные задачи, соответствующие такой матрице, могут быть численно решены с помощью последовательности быстро сходящихся итераций. [19]