Cтраница 2
В чисто алгебраической трактовке главные оси матриц А и А представляют собой две различные группы векторов, по п векторов в каждой группе. Мы имеем всего 2л векторов, и, как мы видели, эти две совокупности векторов находятся в биортогональном отношении друг к другу. В геометрической трактовке мы имеем фактически только п векторов, а именно п главных осей поверхности второго порядка. Но эти п векторов представлены своими координатами в двух системах отсчета, а именно в ц-системе и в г-системе. Вместо 2л векторов мы имеем просто п векторов, но каждый из них представлен двояким образом. [16]
Мы указывали, что разыскание собственных значений оператора есть не что иное, как приведение к главным осям поверхности второго порядка в гильбертовом пространстве. [17]
Напряженное состояние в точке - физическое состояние, определяемое свойствами материала и внешними воздействиями. Между тем мы характеризовали его компонентами тензора напряжения в системе координат, совершенно случайно ориентированной в пространстве. Естественно попытаться найти такую систему координат, которая связана с самим физическим состоянием и в которой напряженное состояние характеризуется более простым и физически естественным образом. Такие три оси, называемые главными осями напряженного состояния и аналогичные главным осям поверхности второго порядка или главным осям инерции, существуют в каждой точке тела. [18]
Теория линейных дифференциальных и интегральных операторов очень выигрывает в ясности и сжатости при введении соответствующих собственных функций как вспомогательной базисной системы. В геометрической интерпретации это означает, что соответствующая поверхность второго порядка преобразуется к своим главным осям. Преобразование квадратичных форм к главным осям становится, таким образом, фундаментальным связующим звеном между весьма различными ветвями математики. Решение системы линейных алгебраических уравнений, матричное исчисление, общая теория линейных дифференциальных и интегральных операторов - все эти проблемы могут рассматриваться как различные формулировки одной и той же основной проблемы, а именно преобразование к главным осям поверхности второго порядка в эвклидовом пространстве конечного или бесконечного числа измерений. [19]
Но если эллипс и превращается постепенно в окружность, то все же его главные оси не перестают существовать. Они превращаются в два взаимно перпендикулярных диаметра. Однако одна и та же окружность может служить предельным положением бесконечного числа эллипсов, и любая пара взаимно перпендикулярных диаметров окружности может служить главными осями. Подобным же образом в случае сферы любые три взаимно перпендикулярных диаметра могут служить главными осями сферы. То же имеет место и в случае многомерных пространств. Если в общем / z - мерном случае т собственных значений сливаются в одно, то это означает, что в некотором m - мерном подпространстве проявляются сферические условия. Любые т взаимно перпендикулярных осей могут быть выбраны в этом подпространстве в качестве главных осей поверхности второго порядка. Существование кратных корней не отменяет существование п различных взаимно перпендикулярных осей. Единственно, что имеет место, это то, что некоторые из этих осей уже не определены однозначно, а могут быть заменены другими равноправными им осями. Совпадение некоторых собственных значений в одно не связано с совпадением соответствующих осей. [20]
Но если эллипс и превращается постепенно в окружность, то все же его главные оси не перестают существовать. Они превращаются в два взаимно перпендикулярных диаметра. Однако одна и та же окружность может служить предельным положением бесконечного числа эллипсов, и любая пара взаимно перпендикулярных диаметров окружности может служить главными осями. Подобным же образом в случае сферы любые три взаимно перпендикулярных диаметра могут служить главными осями сферы. То же имеет место и в случае многомерных пространств. Если в общем л-мерном случае т собственных значений сливаются в одно, то это означает, что в некотором / к-мерном подпространстве проявляются сферические условия. Любые т взаимно перпендикулярных осей могут быть выбраны в этом подпространстве в качестве главных осей поверхности второго порядка. Существование кратных корней не отменяет существование п различных взаимно перпендикулярных осей. Единственно, что имеет место, это то, что некоторые из этих осей уже не определены однозначно, а могут быть заменены другими равноправными им осями. Совпадение некоторых собственных значений в одно не связано с совпадением соответствующих осей. [21]