Cтраница 1
Тензорный анализ имеет дело с изучением абстрактных объектов, называемых тензорами, свойства которых не зависят от координатных систем, используемых для описания этих объектов. В частной координатной системе тензор определяют совокупностью функций, называемых его компонентами, точно так же, как совокупностью компонентов определяют в заданной координатной системе и вектор. Определяет ли заданная система функций тензор, зависит от закона преобразования этих функций при переходе от одной координатной системы к другой. Положение здесь тождественное с тем, которое мы встретили еще в главе I. В заданной координатной системе вектор А определяется однозначно совокупностью компонентов AI. Если мы введем новую систему координат, то этот же вектор А будет определяться совокупностью компонентов В, причем эти новые компоненты могут быть однозначным образом вычислены из первых. Именно закон преобразования компонентов вектора и составляет сущность понятия вектора. Это относится также и к тензорам. [1]
Тензорный анализ можно строить на базе рассмотрения общего риманова многообразия с метрикой. Однако мы предпочли начать с изучения различных дифференциальных свойств векторных полей трехмерного евклидова пространства. Это позволяет развить тензорный анализ, используя наглядные геометрические представления. Обобщения на случай более общих многообразий осуществляются без особого труда. В книге особо рассматривается тензорный анализ для римановых многообразий двух измерений, фактически для поверхностей евклидова пространства трех измерений. Избранный путь оправдан тем, что он, связывая тензорный анализ с наиболее простым, но нетривиальным случаем риманова многообразия, позволяет осмыслить общую теорию на основе наглядных геометрических представлений. [2]
Тензорный анализ в классическом понимании начинается тогда, когда в пространстве ТГ - ( У) выбирается базис и тензор описывается своими координатами. [3]
Поскольку тензорный анализ имеет дело с объектами и свойствами, не зависящими от выбора координатной системы, он является идеальным инструментом для изучения законов природы. В самом деле, если логическая дедукция, основанная на комплексе случайной совокупности наблюденных фактов, и заслуживает наименования закона природы, то это лишь потому, что она определяется часто общностью подобной дедукции и ее применимостью в достаточно широком классе систем отсчета. Это обстоятельство тесно связано с возможностью формулировки дедукции в тензорном уравнении, так как тензорные уравнения инвариантны относительно принятого в том или ином случае типа преобразований координат. [4]
Аппарат тензорного анализа развивался первоначально как инструмент для изучения различных типов геометрий. [5]
Приложения тензорного анализа в кристаллофизике в целях освещения вопросов, составляющих содержание данной главы, очень разнообразны. Они вылились в самостоятельное научное направление, не отраженное в классической кристаллофизике или почти не отраженное в ней. [6]
Усложнение тензорного анализа общей группы преобразований по сравнению с анализом аффинной группы состоит в том, что в нем нельзя уже просто складывать компоненты двух тензоров, связанных с различными точками. Поэтому, чтобы получить из тензора дифференцированием новый тензор, нужно, вообще говоря, прибегнуть к помощи развитого в § 14 понятия о параллельном переносе. [7]
В тензорном анализе рассматриваются тензорные поля на произвольных дифференцируемых многообразиях н дифференциальные операторы, действующие на таких полях. [8]
В тензорном анализе постоянно приходится иметь дело с суммами, подобными (36.01) и (36.02), в которых значок суммирования входит два раза. Следуя предложению Эйнштейна, мы введем для этих сумм сокращенное обозначение, которое заключается в том, что знак суммы опускается, а суммирование по дважды входящему значку подразумевается. [9]
В тензорном анализе вводится понятие ковариантной производной, которая представляет собой тензор. [10]
В тензорном анализе часто приходится рассматривать различные системы величин, для которых удобно пользоваться матричным обозначением. [11]
В тензорном анализе суммирование обычно ведется по так называемым немым индексам, встречающимся один раз сверху и один раз снизу. [12]
В общем тензорном анализе исходными являются выражения (36.01) и (36.02) для квадрата четырехмерного градиента и для квадрата интервала. Эти выражения характеризуют, как говорят, мероопределение или метрику пространства-времени. [13]
В классическом тензорном анализе тензорный формализм описывается в координатных обозначениях. Ими и сейчас широко пользуются в физической и геометрической литературе, и этому языку следует отдать должное: он компактен и гибок. В этом параграфе мы введем его и покажем, как выражаются на нем различные конструкции, описанные выше. [14]
В общем тензорном анализе вместо обычных частных производных приходится вводить в рассмотрение так называемые ковариантные и контравариантные производные. Эти операции имеют то преимущество, что, применяя их к тензору, опять получим тензор. [15]