Cтраница 3
Из только что установленных свойств следует, что, если для всякой прямой г, проходящей через точку О, проведены с той и другой стороны параллельные ей прямые, находящиеся от О на расстоянии р X У 1Г, где А есть произвольный постоянный коэффициент пропорциональности, то огибающая полученных таким образом прямых будет эллипсом е, гомотетичным J) эллипсу е отношение гомотетии ( отношение подобия) между эллипсами е я. [31]
Это равносильно тому, что базисные алгебры алгебр Л и Б изоморфны, что, в свою очередь, равносильно эквивалентности алгебр Л и В в смысле Мориты. Отношение подобия оказывается отношением эквивалентности. Если [ Л ] - класс этой эквивалентности, содержащий алгебру А, то определение [ Л ] [ В ] [ Л о В ] превращает множество классов в периодическую абелеву группу, которая называется группой Брауэра поля Ф ( см. [76], § 12.5; [96], § 4.1, теорема 4.4.4; [31], § V. Отсюда вытекает, что группа Брауэра алгебраически замкнутого поля одноэлементна ( [76], с. [32]
Таким образом, отношение подобия является отношением эквивалентности, и все квадратные матрицы порядка п разбиваются на непересекающиеся классы подобных матриц ( сравнить с классами эквивалентности матриц из [ ВА I, гл. Согласно теореме 3 каждому линейному оператору соответствует ровно один класс подобных матриц, а подобные матрицы служат матрицами одного и того же линейного оператора в различных базисах. [33]
Неинтерпретированное понятие структурного описания происходит от конгруэнтности, определенной Гриффитсом [6] и названной им отношением подобия. Пусть в дальнейшем - обозначает отношение подобия. [34]
Часто объектом изучения в математике служит множество вместе с определенной на нем структурой. Например: множество треугольников с отношением подобия, Множество действительных чисел с операциями сложения и умножения, множество вещественных функций со свой - - ством дифференцируемости и операцией дифференциро - Вания и другие. [35]
Эти свойства позеоляют выделить виды отношений, часто используемые в практике. Так, отношение тождества между алгебраическими выражениями, отношение подобия между геометрическими фигурами, отношение жить в одном доме и многие другие являются отношениями эквивалентности. Вообще отношением эквивалентности является всякое бинарное рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение. [36]
Подобие, очевидным образом, является отношением эквивалентности на D. Каждый элемент из D принадлежит, таким образом, единственному классу эквивалентности по отношению подобия. Существует самое большее 2 классов эквивалентности. [37]
Какое-либо соединение или связь между элементами какого-либо рода могут быть представлены в виде отношения. Это справедливо для любых отношений, от функциональных ( одна вещь зависит от другой) до отношений подобия и эквивалентности ( одна вещь подобна пли неподобна другой в некотором отношении) и даже систем взаимных связей того вида, который мы устанавливаем в семейных отношениях. Поскольку отношения - это множества ( из упорядоченных га-многообразий), мы можем задавать отношения так, как и любые множества, при помощи правила. [38]
В знаковой модели зафиксирована совокупность описаний мысленных моделей, созданных на этапах проектирования, предшествующих рассматриваемому. Таким образом, проектируемая система - это система, образованная из совокупности, включающей мысленную и знаковую модели объекта проектирования, находящиеся к нему в отношении информационного подобия. Поскольку элементы проектируемой системы находятся в отношении информационного подобия к объекту проектирования, то и проектируемая система в целом, представляющая собой мысленно-знаковую модель объекта проектирования, также находится к нему в отношении информационного подобия. [39]
Другим примером определения через абстракцию может служить определение понятия направления, исходящее из отношения параллельности, являющегося отношением эквивалентности: направление есть класс эквивалентности, состоящий из параллельных между собой прямых. Так же можно трактовать и понятие ( геометрической) формы: подобие геометрических фигур есть отношение эквивалентности на множестве фигур, расположенных в евклидовой плоскости, и форма может быть определена как класс эквивалентности, связанный с отношением подобия. [40]
Конечномерные центральные простые алгебры над полем Ф называются подобными, если Мт ( Ф Ф / 4) Л4П ( Ф 8 Ф й) для подходящих тип. Это равносильно тому, что базисные алгебры алгебр А и В изоморфны, что, в свою очередь, равносильно эквивалентности алгебр, А и В в смысле Мориты. Отношение подобия оказывается отношением эквивалентности. Если [ А ] - класс этой эквивалентности, содержащий алгебру А, то определение [ А ] [ В ] [ A S о В ] превращает множество классов в периодическую абелеву группу, которая называется группой Брауэра поля Ф ( см. [76], § 12.5; [96], § 4.1, теорема 4.4.4; [31], § V. Отсюда вытекает, что группа Брауэра алгебраически замкнутого поля одноэлементна ( [76], с. [41]
В знаковой модели зафиксирована совокупность описаний мысленных моделей, созданных на этапах проектирования, предшествующих рассматриваемому. Таким образом, проектируемая система - это система, образованная из совокупности, включающей мысленную и знаковую модели объекта проектирования, находящиеся к нему в отношении информационного подобия. Поскольку элементы проектируемой системы находятся в отношении информационного подобия к объекту проектирования, то и проектируемая система в целом, представляющая собой мысленно-знаковую модель объекта проектирования, также находится к нему в отношении информационного подобия. [42]
Соответствие программы изучения модели программе исследования оригинала ( исходной системы), безусловно существует, однако оно имеет обобщенный характер. Это связано с тем, что модель, выполняя в исследовании функцию заменителя прототипа, представляет собой вполне самостоятельный объект со свойственными ему закономерностями. Очевидно, что эти закономерности должны находится в отношениях подобия с аналогичными свойствами исходной системы. В противном случае теряет всякий смысл дальнейший процесс познания модели. Таким образом, свойства модели могут изучаться лишь методами адекватными для исследования исходной социальной системы. Одним из таких методов является панельное социологическое исследования, которое, с одной стороны, позволяет наполнить систему объекта конкретным содержанием, а с другой, обусловливает ее связь с исходной системой. [43]
На одинаковости, в известном смысле, законов - одинаковости, проявляющейся, в частности, в совпадении их математических выражений - в применении к явлениям из достаточно различных областей, даже относящихся к различным формам движения материи - базируется, в частности, метод моделирования. Основой этого метода - при всем многообразии видов моделирования в философском плане - является единство природы, ее пространственно-временных характеристик, общих принципов движения материи. Рассматривая вопрос более конкретно, мы обнаруживаем основания моделирования в отношениях подобия ( сходства, аналогии) между объектами, уточняемых с помощью математических понятий изоморфизма и гомоморфизма. Подобие выражает феномен общности структурной или информационной организации определенных предметов и явлений природы или общества, в том числе объектов, принадлежащих к различным уровням организации материи и различным формам ее движения. Эта поразительная аналогичность отражает подобие объектов различной природы и различных уровней организации, делающее возможным моделирование, - она является одним из выражений единства природы, мира. [44]
Каждый элемент, в данной зада-ч е рассматриваемый как простейший и не подлежащий дальнейшему делению, в других задачах может рассматриваться как физическая система, образованная совокупностью еще более простых взаимодействующих между собой элементов. При исследовании свойств электрической системы с заданными элементами ( при анализе) и при конструировании электрической системы с заданными свойствами ( при синтезе) система описывается некоторой математической моделью. Модель - это объект изучения ( например, явление, процесс, система, установка, знаковое образование), находящийся в отношении подобия к моделируемому объекту. [45]