Cтраница 1
Отношение Штейнера представляет собой нетривиальную характеристику метрического пространства, которая, хотя и не сводится к другим известным характеристикам, однако оказывается тесно связана со многими из них, такими как число Юнга, число Хадвигера и пр. Поэтому изучение отношения Штейнера представляет не только практический, но и научный интерес. [1]
Предложение 2.5. Отношение Штейнера изометричных метрических пространств одинаково. [2]
Для каких пространств отношение Штейнера достигается на конечных граничных множествах. [3]
В данном параграфе мы обсудим связи отношения Штейнера и ряда других известных задач дискретной геометрии. [4]
В данном пункте мы покажем, как отношение Штейнера может быть использовано при изучении упаковок и покрытий евклидова пространства. [5]
Далее, в силу предложения 2.6, отношение Штейнера стандартного евклидова пространства Еп убывает с ростом размерности п, поэтому отношение Штейнера произвольного риманова многообразия размерности не меньше 2 не превосходит отношения Штейнера для стандартной евклидовой плоскости. [6]
Теорема 4.1 позволяет получить много интересных оценок на отношение Штейнера. [7]
В случае п 3 известны лишь оценки на отношение Штейнера пространства Еп. [8]
Настоящий обзор посвящен современным результатам, связанным с изучением отношения Штейнера метрических пространств, в частности, римановых многообразий и нормированных пространств. Понятие отношения Штейнера возникает как характеристика хорошести приближенных решений знаменитой проблемы Штейнера, состоящей ( в самой общей постановке) в поиске кратчайшей сети, затягивающей конечный набор точек N метрического пространства. А именно, в качестве приближения рассматривается минимальное остовное дерево А на множестве N, и отношение Штейнера множества N определяется как отношение длины кратчайшей сети, затягивающей N, к длине дерева А. [9]
В частности, имеется бесконечно много не изометричных плоскостей Банаха-Минковского с таким же отношением Штейнера как у евклидовой плоскости. Кроме того, отношение Штейнера для А - норм не есть монотонная функция А. [10]
Предложение 2.2. Любое число, лежащее между 1 / 2 и 1, является отношением Штейнера для некоторого метрического пространства. [11]
Тем не менее, если гипотеза Гилберта-Поллака все-таки верна, то следствие 3.2 дает точные значения отношения Штейнера для двумерных цилиндров, плоских двумерных торов и плоских бутылок Клейна. [12]
Этот факт ( вместе со следствием 4.3) позволяет заключить, что при получении общих оценок на отношение Штейнера пространств Банаха-Минковского достаточно ограничиться рассмотрением норм, порожденных строго выпуклыми шарами с гладкими границами. [13]
Далее, в силу предложения 2.6, отношение Штейнера стандартного евклидова пространства Еп убывает с ростом размерности п, поэтому отношение Штейнера произвольного риманова многообразия размерности не меньше 2 не превосходит отношения Штейнера для стандартной евклидовой плоскости. [14]
На самом деле, имеются важные достаточно широкие классы метрических пространств, на которых достигаются максимальное и минимальное возможные значения отношения Штейнера. [15]