Отображение - кольцо
Cтраница 2
В общем случае, когда сила не мала и / или автоколебания сильно нелинейны, мы должны обратиться к качественной теории динамических систем. Для нашей проблемы основным математическим аппаратом являются отображения кольца и окружности, мы описываем их в разделе 7.3. Этот подход дает общую картину, вплоть до перехода к хаосу; он позволяет установить границы применимости аналитических методов и служит основой для численного исследования конкретных систем. [16]
В большинстве случаев, как и в проблеме Зейферта, соответствующий вопрос в случае большей гладкости остается открытым. Исключение составляет задача об инвариантных кривых для сохраняющих площадь отображений кольца, которой посвящена вторая работа Такенса. Здесь усилиями ряда математиков ( Колмогорова, Арнольда, Мозера, Рюссмана) доказано, что в случае высокой гладкости ситуация, иная. [17]
Сформулированные там достаточные условия хаотичности используют только наличие растяжений вдоль кольца и то, как преобразуется координата ( назовем ее и) вдоль кольца. Эти сведения и дает отображение окружности в себя на рис. 7.41. Для того чтобы отображение кольца приобрело хаотический характер, согласно этим условиям у точечного отображения окружности в себя должны быть участки растяжения, а само отображение должно быть неоднозначно обратимым. [18]
Вблизи предельного цикла невозмущенной системы это отображение имеет простой вид: сжатие в поперечном направлении и поворот фазы согласно отображению окружности. Сжатие по амплитуде означает, что можно ограничиться полосой вокруг предельного цикла, т.е. рассматривать отображение кольца. [19]
Стохастический синхронизм в момент бифуркации, изображенной на рис. 7.112, порождает в кольце точечное отображение вида, изображенного на рис. 7.48, и поэтому не может перейти в обычный синхронизм. Это же относится к отображению кольца, частично изображенному на рис. 7.114. Именно, если к отображению кольца в себя, фрагмент которого представлен на рис. 7.114, добавить малое вращение кольца, как это показано стрелкой В на рис. 7.116, то придем к точечному отображению вида рис. 7.48. Это отображение будет удовлетворять требуемому существованию области а, указанным образом пересекающейся со своим отображением ст. Поэтому дальнейшее изменение рис. 7.114 не может сохранить обычный синхронизм и приводит к его стохастизации. [20]
Линия е 1 называется критической: выше нее возможен хаос. В окрестности критической линии отображение окружности уже не описывает настоящую динамику исходной системы (7.5), здесь нужно рассматривать полное М - мерное отображение кольца. [21]
Эти выводы о сохранении замкнутых кривых основываются на теории КАМ, созданной в трудах Колмогорова, Арнольда и Мозера. Рождение из резонансного уровня, отвечающего рациональному числу вращения вида p / q, синхронизма, составленного из 2г циклов g - кратных неподвижных точек, следует из упрощенных соображений теоремы Пуанкаре - Биркгофа о сохраняющем площадь отображении кольца в себя. [22]
Таковы выводы, которые непосредственно следуют из серии графиков рис. 7.41, полученных при численном счете на ЭВМ. Вместе с тем, ото описание все же несколько огрублено. Отображение кольца в себя было рассмотрено в § 2 гл. [23]
На рис. 7.61 - 7.63 изображены преобразования, также допускающие применение теоремы 7.3 и естественно порождаемые фазовыми траекториями дифференциальных уравнении третьего порядка. Такого рода отображение возникает при пересечении сепаратрис седловой неподвижной точки и будет рассмотрено в следующем параграфе. На рис. 7.62 изображено отображение кольца в кольцо. При этом области G и а преобразуются соответственно в U и а. Наличие изображенного на рис. 7.62 пересечения областей а и а говорит о многозначности вспомогательного отображения, наличии бесконечного числа различных седловых кратных неподвижных точек и о сложной структуре точечного отображения. [24]
Действительно, асимптотически на больших временах важна только динамика на этой притягивающей кривой, и на ней как раз и получается отображение окружности в себя. При большой силе инвариантная кривая разрушается, но прежде чем перейти к описанию ее метаморфоз, приведем пример отображения кольца. [26]
На рис. 7.61 - 7.63 изображены преобразования, также допускающие применение теоремы 7.3 и естественно порождаемые фазовыми траекториями дифференциальных уравнений третьего порядка. На рис. 7.61 области Gb G2 и G3 представляют последовательные преобразования области G. Такого рода отображение возникает при пересечении сепаратрис седловой неподвижной точки и будет рассмотрено в следующем параграфе. На рис. 7.62 изображено отображение кольца в кольцо. [27]
При достаточно большом е возмущение еНг разрушает все торы. При этом с увеличением возмущения последним разрушается КАМ-тор с наиболее иррациональным соотношением частот ы / 2 ( V5 - 1) / 2 ( см. разд. Разрушение этого тора в некотором смысле аналогично механизму Рюэля - Такенса возникновения хаоса в диссипативных системах. Действительно, Шенкер и Каданов ( Shenker, Kadanoff, 1982), а также Маккей ( McKay, 1983), изучая бездиссипативное ф 1) отображение кольца в себя (5.56), нашли, что последняя КАМ-траектория разрушается универсальным образом в соответствии с законами самоподобия. [28]
Страницы: 1 2