Cтраница 2
При решении задачи об изгибе стержня нужно найти на диаграмме упругих параметров отображение отрезка периодической кривой, подобного изогнутой оси стержня. [16]
О х в некоторой точке х0, которая и будет образом точки хи при отображении отрезка [0; 1] оси Ох на отрезок [0; 2] оси О х, Точка хд будет единственной точкой пересечения прямых Мх и О х, так как эти прямые не параллельны. [17]
Располагая описанными выше конструкциями н результатами, мы можем построить еще более экзотические примеры непрерывных отображении отрезка, а именно так называемую обобщенную кривую Пеано. [18]
Под гладкостью здесь понимается наличие достаточного числа непрерывных производных, причем предполагается, что производные функций / j, g по пространственным координатам кусочно-непрерывны по t, как отображения отрезка [ О, Т ] в пространство непрерывных функций. Тогда решение - гладкое в области U Dd, где Dd - круг радиуса d с центром в точке жй, значение d произвольно. [19]
С ( С ( ПХ R X R); [ О, 1 ]); это значит, что д17, b G Ca ( ft X R X Rw) при каждом a [0, 1] и функции д, Ь, рассматриваемые как отображения отрезка [ О, 1 ] в С0 ( ИХ X R X R), непрерывны. [20]
А есть единственное корректное отображение отрезка [ 0, а ] в В. [21]
В некоторых случаях возникает необходимость в педантичной замене термина кривая Коха чем-нибудь более точным и подходящим. Например, фигура, изображенная на рис. 73 внизу, формально является коховым отображением отрезка прямой и может быть названа дугой Коха. Как следствие, граничная линия на рис. 74 оказывается составленной из трех дуг Коха. [22]
Каждое такое отображение задается кусочно-монотонной ф-цией, производная к-рой по абс. Более точно, это означает следующее. Пример такого отображения отрезка [ О, 1 ] можно задать ф-лой TkFr ( 2x где Fr, как и раньше, обозначает дробную часть числа. Это т.н. шатровое отображение ( tent map) - термин, указывающий на форму его графика. [23]
В случае отображения отрезка в отрезок это может быть не так лишь при невзаимной однозначности отображения. При взаимной однозначности отображение Т отрезка в себя всегда имеет устойчивую неподвижную точку. [24]
Первый в качестве оценки плотности использовал гистограммы, а второй - оценки типа ядра. Из инвариантности подсовокупности всех распределений вероятностей непрерывного типа относительно взаимно измеримых сохраняющих длину отображений отрезка на себя легко вытекает ( см. [3]), что универсальное состоятельное решающее правило не может быть на этой подсовокупности равномерно состоятельным. [25]
Если f - гомеоморфизм отрезка, то свойства динамической системы / очевидны и просты. В 60 - х годах А. Н. Шарковский обратил внимание на то, что для необратимых непрерывных отображений отрезка ситуация совершенно иная и что в то же время для них можно развить достаточно содержательную теорию. Вначале он был единственным, кто этим занимался, но затем положение изменилось - теперь имеется много работ ( частью в виде малодоступных препринтов) об отображениях отрезка или окружности. При этом рассматриваются и разрывные отображения достаточно простых типов. Первые примеры такого рода рассматривались в эргодической теории еще до Шарковского, но специфика одномерного случая оставалась в тени - ведь с чисто метрической точки зрения, если разрывы никак не ограничиваются, одномерный случай ничем не отличается от многомерного. [26]
В этом пункте вместо рассуждений, использующих теорему о неявных функциях и специальный характер наших отображений, можно непосредственно применить знаменитую топологическую теорему, а именно теорему Брауэра об инвариантности области при непрерывном и взаимно однозначном отображении. Эта теорема имеет долгую историю, и мы ничего не выиграем, если будем игнорировать ее существование и использовать менее эффективные средства. Поводом к ее доказательству послужило следующее ( на первый взгляд, несколько тревожное) открытие: существуют взаимно однозначные ( но не непрерывные) или же - кривая Пеано - непрерывные ( но не взаимно однозначные) отображения отрезка на квадрат. До этого были очень модны обозначения типа со2, подразумевающие, что со2 значительно больше, чем со. Эти вопросы изучаются в теории функций действительного переменного и в теоретико-множественной топологии. [27]
Непрерывное отображение отрезка на квадрат, вдуще-ствляется кривой Пеано ( см. с. Это отображение хотя и не является взаимно однозначным, но показывает, что мощность отрезка не меньше мощности квадрата, а потому из теоремы Кантора - Бернштейна ( с. Непрерывного и взаимно однозначного отображений отрезка на квадрат не существует - об этом Клейн пишет ниже. [28]
Вернемся в теореме Брауэрн. При выполнении ее условий в области G имеется неподвижная точка. Так как отображение Т преобразует область О в себя, то можно было бы думать, что точечное отображение Т имеет в G устойчивую неподвижную точку. В случае отображения отрезка в отрезок это может быть не так лишь в случае невзаимной однозначности отображения. [29]