Cтраница 1
Отображения склейки ф и ф биголоморфны и определены в непересекающихся окрестностях U и 6 / точек 0 и оо соответственно; ф ( 0) 0 и ф ( оо) оо. [1]
Таким образом, отображение склейки гиперболично. Действительно, если в качестве базиса в R2 взять базис в G П R2, то матрица линейного отображения R2 - - R2 будет целочисленной. [2]
В частности, если базой этого расслоения является окружность, то его отображение склейки периодично. [3]
Обратно предположим, что задано расслоение тотального пространства М на торы над 51 с сохраняющим ориентацию гиперболическим отображением склейки. Предположим, что след автоморфизма Л положителен. Тогда оба собственных значения этого автоморфизма положительны. [4]
Легко показать, что если h и h - изотопные гомеоморфизмы поверхности F, то расслоения с отображениями склейки h и h изоморфны. Поэтому для замкнутой поверхности F знания действия гомеоморфизма h на группе n ( F) достаточно для того, чтобы определить класс расслоения с отображением склейки h с точностью до изоморфизма. F, то он гомотопен некоторому периодическому гомеоморфизму h поверхности F. В случае когда поверхность F гомеоморфна 52 или Р2, это легко усмотреть непосредственно, а в остальных случаях это следует из теоремы 2.6. Следовательно, если М - тотальное пространство некоторого расслоения над S1, слоем которого является замкнутая поверхность F, с гомотопически-периодическим отображением склейки, то М является слоением Зейферта. [5]
Если М допускает геометрическую структуру по образцу Sol, то у многообразия М существует конечнократное накрытие М, которое является расслоением на торы над S1 с гиперболическим отображением склейки. [6]
Если М3 - тотальное пространство расслоения Зейферта ц с е ( т)) 0 и циклическая подгруппа в ni ( Af), носителем которой служит регулярный слой, центральна, то М является расслоением на поверхности над S1 о периодическим отображением склейки. [7]
Гомеоморфизм h называется отображением склейки для этого расслоения. [8]
Для данного отличного от нуля числа t это отображение является линейным изоморфизмом плоскости К2, у которого определитель равен 1, а собственные значения вещественны и различны. Не удивительно, что по образцу многообразия Sol устроены расслоения на торы над S1, для которых отображение склейки гиперболично. Всякий гомеоморфизм тора Т определяет автоморфизм группы Hi ( T) & Z X 2, и этот автоморфизм имеет гиперболический тип, если ни одно из его собственных значений не равно по модулю единице. В рассматриваемой размерности это условие означает, в частности, что собственные значения вещественны. [9]
Легко показать, что если h и h - изотопные гомеоморфизмы поверхности F, то расслоения с отображениями склейки h и h изоморфны. Поэтому для замкнутой поверхности F знания действия гомеоморфизма h на группе n ( F) достаточно для того, чтобы определить класс расслоения с отображением склейки h с точностью до изоморфизма. F, то он гомотопен некоторому периодическому гомеоморфизму h поверхности F. В случае когда поверхность F гомеоморфна 52 или Р2, это легко усмотреть непосредственно, а в остальных случаях это следует из теоремы 2.6. Следовательно, если М - тотальное пространство некоторого расслоения над S1, слоем которого является замкнутая поверхность F, с гомотопически-периодическим отображением склейки, то М является слоением Зейферта. [10]
Рассмотрим случай, когда базовым орбиобразием является окружность. Тогда М представляет собой расслоение над окружностью, слоем которого служит тор. Группа щ ( X) должна быть изоморфна ZX - Отображение склейки этого расслоения можно представить себе таким же образом, как и в случае геометрий произведения. На многообразии Nil определен поток, орбитами которого являются горизонтальные кривые, ортогональные плоскостям нашего слоения многообразия Nil, и этот поток опускается до потока на многообразии М, сохраняющего структуру расслоения на торы над окружностью. Если t - наименьшее положительное число, такое что каждый слой инвариантен относительно сдвига на /, то индуцированный диффеоморфизм ф / слоя и будет отображением склейки. Так как поток на Nil сохраняет вертикальные прямые, то диффеоморфизм ф должен сохранять вертикальные окружности в слое-торе. [11]
Как и в случаях Е3 и S2X R, инвариантная структура прямого произведения на Я2 X R определяет естественное слоение многообразия М на поверхности. Компактное многообразие М накрывается многообразием S1 X F конечнократно, поэтому все слои этого слоения компактны и, значит, М обладает также структурой расслоения над некоторым одномерным орбиобразием. Если база - окружность, то М - расслоение в обычном смысле, и отображение склейки этого расслоения периодично. [12]
Легко показать, что если h и h - изотопные гомеоморфизмы поверхности F, то расслоения с отображениями склейки h и h изоморфны. Поэтому для замкнутой поверхности F знания действия гомеоморфизма h на группе n ( F) достаточно для того, чтобы определить класс расслоения с отображением склейки h с точностью до изоморфизма. F, то он гомотопен некоторому периодическому гомеоморфизму h поверхности F. В случае когда поверхность F гомеоморфна 52 или Р2, это легко усмотреть непосредственно, а в остальных случаях это следует из теоремы 2.6. Следовательно, если М - тотальное пространство некоторого расслоения над S1, слоем которого является замкнутая поверхность F, с гомотопически-периодическим отображением склейки, то М является слоением Зейферта. [13]
Рассмотрим случай, когда базовым орбиобразием является окружность. Тогда М представляет собой расслоение над окружностью, слоем которого служит тор. Группа щ ( X) должна быть изоморфна ZX - Отображение склейки этого расслоения можно представить себе таким же образом, как и в случае геометрий произведения. На многообразии Nil определен поток, орбитами которого являются горизонтальные кривые, ортогональные плоскостям нашего слоения многообразия Nil, и этот поток опускается до потока на многообразии М, сохраняющего структуру расслоения на торы над окружностью. Если t - наименьшее положительное число, такое что каждый слой инвариантен относительно сдвига на /, то индуцированный диффеоморфизм ф / слоя и будет отображением склейки. Так как поток на Nil сохраняет вертикальные прямые, то диффеоморфизм ф должен сохранять вертикальные окружности в слое-торе. [14]
R, S2 X или Н2 X R - Поэтому, как было объяснено в § 4, М допускает структуру расслоения на поверхности над некоторым одномерным орбиобра-зием У. Циклическая подгруппа / С в iii ( M) с носителем на регулярном слое действует на этом сомножителе сдвигами. Из предположения о том, что группа К центральна, следует, что отражения сомножителя R отсутствуют. Поэтому орбиобразие У должно быть окружностью. Следовательно, М имеет структуру расслоения над 51 с периодическим отображением склейки. [15]