Cтраница 2
В заключительном параграфе мы рассматриваем растягивающие отображения на компактных многообразиях. Растягивающим отображением называется У-накрытие, для которого ТМ Еи. Используя технику, подобную той, которая применяется при доказательстве теоремы (3.6), мы доказываем следующую теорему. [16]
Пусть f: M - - M - растягивающее отображение и группа п ( М) имеет нилъпотентную подгруппу конечного индекса. Тогда растягивающее отображение f топологически сопряжено с растягивающим эндоморфизмом инфра-ниль многообразия. Если группа лц ( М) нильпотентна, то f сопряжено с растягивающим эндоморфизмом нильмногообразия, & если jti ( М) абелева, то f сопряжено с растягивающим эндоморфизмом тора. [17]
В переведенной статье Френкса уделяется некоторое внимание У-накрытиям. Выделение этого класса объектов мотивируется желанием унифицировать У-диффеоморфизмы и растягивающие отображения. Оказывается, однако, что унификация достигается довольно относительная. По-видимому, из этих работ можно вывести и то, что только в этих двух случаях оно является лi - накрытием. Конечно, сказанное не означает, что У-накрытия вообще нецелесообразно рассматривать. Например, вполне разумной - задачей представляется исследование их эргодических свойств. Ниже объясняется в общих чертах, в чем тут дело. Мы увидим, что даже само определение У-накрытия следует несколько изменить, если мы хотим, чтобы при малом ( в смысле С1) возмущении У-н-акрытия получалось снова У-накрытие. [18]
В целом одномерная динамика пока далека от завершения. Последнее в еще большей степени относится к теории многомерных не всюду растягивающих отображений, к-рая делает только первые шаги. [19]
Такого рода связи тоже достаточно прочно ощущаются. Совершенно иная ситуация возникает, как только наряду со сжатием появляется растяжение. Именно с такими не только сжимающими, но и растягивающими отображениями неразрывно связана стохастичность в динамических системах. [20]