Cтраница 1
Изотопное отображение ф частично упорядоченного множества Р в себя называется оператором замыкания, если f ( x) x и ф ( ф ( х)) ф ( х) для всех х 6 L. Ведущим примером служит полная структура всех подмножеств топологического пространства с отображением, ставящим в соответствие каждому подмножеству его замыкание. Операторы замыкания возникают и во многих других ситуациях. В частности, если L - полная структура всех подмножеств группы, кольца или линейного пространства, то операторами замыкания будут отображения, ставящие в соответствие каждому подмножеству порожденную им подгруппу, нормальную подгруппу, подкольцо, идеал или подпространство. В качестве тривиального примера можно указать отображение, ставящее в соответствие каждому элементу полной структуры ее наибольший элемент. [1]
Изотопное отображение цепи в любую структуру является гомоморфизмом структур. [2]
Взаимно однозначное изотопное отображение может не быть изоморфизмом. Действительно, если Р - неодноэлементное частично упорядоченное множество с тривиальным порядком, а Р - то же самое множество с нетривиальным порядком, то тождественное отображение множества Р на себя - это изотон-ное и взаимно однозначное отображение Р на Р, не являющееся изоморфизмом. [3]
Если каждое изотопное отображение частично упорядоченного множества Р в себя имеет неподвижную точку, то всякая максимальная цепь из Р является полной структурой. [4]
UF-области соответствует изотопному отображению множества Рс в упорядоченное множество из п элементов. [5]
Гомоморфизм структур является изотопным отображением. Однако изотопное отображение не обязано быть структурным гомоморфизмом. [6]
Таким образом, ф оказывается изотопным отображением. [7]
Если р: Р - Р - изотопное отображение, то полный прообраз любого элемента из Р оказывается выпуклым подмножеством. Произведение двух изотон-ных отображений изотопно. [8]
Если ср: Р - - Р - изотопное отображение, то полный прообраз любого элемента из Р оказывается выпуклым подмножеством. [9]
С помощью теоремы 1 легко вывести, что всякий гомоморфизм является изотопным отображением. Взаимно однозначный гомоморфизм называется изоморфизмом. [10]
Теорема 2 не допускает обращения: трехэлементное частично упорядоченное множество, изображенное на рис. 2, не является полной структурой, хотя все его изотопные отображения в себя, очевидно, имеют неподвижную точку. [11]
Эквивалентны следующие свойства решетки L: ( 1) L полна; ( 2) L содержит наименьший [ наибольший ] элемент и всякая подрешетка решетки L имеет точную верхнюю [ нижнюю ] грань в L; ( 3) для любого изотопного отображения ф решетки L в себя найдется такой элемент aeL, что ф ( а) а; ( 4) все замкнутые идеалы [ фильтры ] решетки главные. [12]
Из леммы 3 вы-ткает, что 7 С Р и что Фт ( 1) ФрШ - Следовательно, Ф является однозначным отображением отрезка [ 0, а) м отрезок [ 0, а) - Без труда проверяется, что q - взаимно днозначное и изотопное отображение. [13]
Гомоморфизм структур является изотопным отображением. Однако изотопное отображение не обязано быть структурным гомоморфизмом. [14]
Взаимно однозначный гомоморфизм называется изоморфизмом. Как верхний, так и нижний гомоморфизм являются изотопными отображениями. Однако не всякое изо-тонное отображение решеток оказывается верхним или нижним гомоморфизмом и существуют верхние [ нижние ] гомоморфизмы, не являющиеся гомоморфизмами. Более того, решетка L оказывается цепью тогда и только тогда, когда всякое ее изотонное отображение в любую решетку L. Тем не менее, изоморфизм решеток, рассматриваемых как частично упорядоченные множества, является решеточным изоморфизмом. [15]