Cтраница 2
Предложение 1.2. Симплициалъное пространство (1.5) есть симплициалъное пространство в категории ( TOP F), связанное с котройкой Сх ( Сх е, w), где Сх % X xY Z, СХ9 И х g для g e ( TOP F) ( Z, ), е: CXZ X XY Z - 4 Z - проекция на сомножитель, ш: CxZ X Ху Z - 4 C Z ( X xYX) xY Z - диагональное отображение на первом сомножителе и тождественное отображение на другом сомножителе. [16]
Рассмотрите псевдометрики р -, &, определенные в доказательстве метризационной теоремы Нагаты-Смирнова, и заметьте, что семейство / г, fe % 1 отображений ft, : X - X / pitk, определенных в упр. Применяя теорему о диагональном отображении, выведите отсюда, что пространство X метризуемо. [17]
С другой стороны, если пространство X состоит только из отмеченной точки х, то отображение р представляет собой гомеоморфизм, и, значит, отображение р биективно. Поскольку, согласно аксиоме Б, отображение q также биективно, мы получаем, следовательно, что для одноточечного пространства X х диагональное отображение А биективно, что возможно только тогда, когда множество F ( X) состоит только из одного элемента. [18]
В примерах 3 2 и 3.3 Е есть касательное рассло & пие многообразия 1 /, и естественное сечение будет пулевым сечением. В примере 3.1 Е есть расслоепне-пропзводеппе М X М - М - и естественное сечение Л / - - Е Af X Af есть диагональное отображение. [19]
Предположим теперь, что G отделима; отображение x i - ( е, х) пространства Е в G X Е является гомеоморфизмом на замкнутое множество в G X Е и потому совершенно ( гл. I, § 10, предложение 2); компонируя с ним отображение ( s, x) t - ( x, sx) произведения G X Е в Е x E, совершенное по предположению, получаем совершенное отображение Е в Е х Е ( гл. I, § 10, предложение 5) т являющееся не чем иным, как диагональным отображением х i - - ( х, х); таким образом, диагональ в Е X Е замкнута ( гл. I, § 10, предложение 1), чем доказана отделимость Е ( гл. [20]
Мы говорим, что С - категория с конечными произведениями, если для каждого конечного множества объектов с... В частности, тогда в С существует произведение пустого множества объектов: это просто терминальный объект. Существует и произведение любых двух объектов. Диагональное отображение 8с: с - с х с определяется для любого с условиями р - 8с 1С р2 с5 оно является естественным преобразованием. [21]