Cтраница 2
В настоящей работе рассматривается категория многослойных сетей пер-цептронного типа, предназначенных для реализации нелинейных отображений входо-выходных последовательностей экспериментальных данных. [16]
Сравнивая формулы ( 48) с формулами ( 27), мы заключаем, что нелинейное отображение в бесконечно малой окрестности любой точки является с точностью до малых высшего порядка линейным. [17]
Имеет место интерполяционная теорема, подобная теореме 4.1. На деле одно из преимуществ этих вещественных интерполяционных пространств - возможность включения в теорию ( при некоторых условиях) нелинейных отображений. [18]
В осмыслении и решении ряда задач общей теории систем, теории управления, механики, прикладной математики и др. важную роль часто играет монотонность входо-выходных соответствий, позитивность и монотонность различных линейных и нелинейных отображений. Математические модели подобных объектов во многих ситуациях приводят к уравнениям с операторами в пространствах, полуупорядоченных некоторым конусом. [19]
Забегая вперед, скажем, что условиям теоремы 1.7 удовлетворяют отображения, порожденные линейными операторными уравнениями в паре произвольных гильбертовых пространств G ( x) A - lx, если КегЛ0, или G ( x) A0 - lx, где А0 - - подходящее сечение многозначного отображения А-1 в общем случае, нелинейные отображения, связанные с решениями монотонных вариационных неравенств, в частности задач выпуклой оптимизации и некоторые другие. Именно таким путем ( построение аппроксимаций и применение теоремы (1.7)) были получены А. Н. Тихоновым первые конкретные регуляризирующие алгоритмы. [20]
Пусть заданы нелинейное отображение F: Ex - Ei и линейное отображение В: ЕУ - ЕХ, где Ех и Ev - векторные пространства. Тогда отображение T BF: EX - EX называется оператором типа Гаммерштейна. Если F - оператор Немыцкого и В - линейный интегральный оператор, то Г называется оператором Гаммерштейна. [21]
Далее на основе уравнений Годфри была построена простейшая модель динамики потока в диоде Пирса - отображение, описывающее обратный каскад удвоений периода с увеличением параметра а. Однако наряду с переходом к уравнениям с запаздыванием и от них к простейшему нелинейному отображению, возможно построение конечномерной модели из трех обыкновенных дифференциальных уравнений, демонстрирующей характерные особенности процессов в диоде Пирса. [22]
Читатель, разобравший доказательство теоремы 1.7, легко воспроизведет аналогичное доказательство и для данного случая. Здесь, как и в случае двух переменных, основная идея состоит в аппроксимации нелинейного отображения малой области подходящим ее линейным отображением. [23]
К сожалению, линейное преобразование, как правило, не позволяет выделить минимальное число эффективных признаков. Несмотря на это, математические вопросы нелинейных отображений остаются неисследованными вследствие их сложности, и на практике эффективные признаки находят, в основном, за счет интуиции исследователя. [24]
В предыдущей части, где мы рассматривали конструктивные фракталы, было показано, что в основе их построения лежат линейные двумерные отображения. В последнем параграфе первой части мы познакомились с нелинейным одномерным отображением, которое является простейшей моделью ограниченного роста популяции. Здесь мы пойдем дальше и рассмотрим некоторые классы двумерных нелинейных отображений, которые относятся к дискретным динамическим системам. Наша цель - показать, что в таких отображениях могут существовать фрактальные структуры или фракталы. Анализ нелинейных динамических систем сопряжен, как правило, со значительными трудностями, и мы это увидим на примере простейших нелинейных отображений, которые можно представить в виде одномерного комплексного отображения. Такие отображения наиболее изучены. [25]
Если отображение окружности имеет периодическую траекторию, то число вращения рационально. В самом деле, на самой этой траектории число вращения очевидным образом рационально и не зависит от начальных условий. При линейном вращении, е 0, периодичны все точки на окружности, но в нелинейном случае, е ф 0, это вырождение снимается. В общем случае периодические точки нелинейного отображения изолированы. [26]
Здесь мы рассмотрим двумерные, сохраняющие площадь, отображения. К подобным отображениям приводят задачи предыдущей главы. Отметим, что, хотя эти задачи различны, результаты довольно сходны по своим общим свойствам. Итак, имеет смысл более полно рассмотреть простые модельные отображения, которые в то же время должны сохранять свойства общего случая. Простейшими нелинейными отображениями являются квадратичные отображения. [27]
В предыдущей части, где мы рассматривали конструктивные фракталы, было показано, что в основе их построения лежат линейные двумерные отображения. В последнем параграфе первой части мы познакомились с нелинейным одномерным отображением, которое является простейшей моделью ограниченного роста популяции. Здесь мы пойдем дальше и рассмотрим некоторые классы двумерных нелинейных отображений, которые относятся к дискретным динамическим системам. Наша цель - показать, что в таких отображениях могут существовать фрактальные структуры или фракталы. Анализ нелинейных динамических систем сопряжен, как правило, со значительными трудностями, и мы это увидим на примере простейших нелинейных отображений, которые можно представить в виде одномерного комплексного отображения. Такие отображения наиболее изучены. [28]