Cтраница 2
Поскольку произведение гомоморфизмов является гомоморфизмом, то это множество оказывается кольцом с единицей, которое называется кольцом эндоморфизмов модуля М и обычно обозначается через End MR или просто End M. Это дает две возможности для превращения множества EndM в кольцо. Тождественное отображение множества EndTW на себя является антиавтоморфизмом этих колец. [16]
Единичным элементом G является тождественное отображение множества 5, а групповые свойства проверяются тривиально. [17]
А в объект В - любые отображения /: А - В. Умножение морфизмов совпадает с последовательным выполнением ( суперпозицией) отображений. Роль единичных морфизмов играют тождественные отображения множеств в себя. [18]
Если каждый элемент из В имеет хотя бы один прообраз ( или, другими словами, если Im ф В), то отображение Ф называется наложением. Имея наложение ф: А - - В, часто говорят, что ф - отображение А на В. Важным примером взаимно однозначного отображения является тождественное отображение множества А на себя, определяемое условием: у ( х) х для всех же А. [19]
Понятие категории является одним из важнейших объединяющих понятий математики. Примером категории является категория множеств. Если А и В - два множества, то Мот ( А, В) является множеством всех отображений из А и В; при этом ел есть тождественное отображение множества А в себя. Если А и В - две О-алгебры, то Мог ( А, В) есть HomfA. [20]
Последнее обозначение используется, главным образом, в тех случаях, когда рассматривается произведение отображений, ибо в книге принято, что фг з, где ф - отображение А в В, а - отображение В в С - это отображение А в С, определяемое равенством а ( фгр) ( аф) з или, что то же самое, равенством ( фф) ( а) ty ( р ( а)) для каждого а. Символ ф: А-В также используется для обозначения отображения множества А в множество В. Тождественное отображение множества А на себя обозначается через 1А Для обозначения мощности множества А используются обозначения Card Л и А. Символы N, Z, Q, R и С обозначают множества натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел соответственно. Как обычно, ссылка на теорему IV.2.3 означает, что имеется в виду теорема 3 из § 2 главы IV. Теорема 2.3 подразумевает теорему 3 из § 2 той же главы, а теорема 3 -теорему 3 из того же параграфа. [21]