Cтраница 2
Un ( t), n i, будет фундаментальна в пространстве всех непрерывных отображений отрезка [ ta, ta т ] в conv X с топологией равномерной сходимости. [16]
Если f - гомеоморфизм отрезка, то свойства динамической системы / очевидны и просты. В 60 - х годах А. Н. Шарковский обратил внимание на то, что для необратимых непрерывных отображений отрезка ситуация совершенно иная и что в то же время для них можно развить достаточно содержательную теорию. Вначале он был единственным, кто этим занимался, но затем положение изменилось - теперь имеется много работ ( частью в виде малодоступных препринтов) об отображениях отрезка или окружности. При этом рассматриваются и разрывные отображения достаточно простых типов. Первые примеры такого рода рассматривались в эргодической теории еще до Шарковского, но специфика одномерного случая оставалась в тени - ведь с чисто метрической точки зрения, если разрывы никак не ограничиваются, одномерный случай ничем не отличается от многомерного. [17]
Иначе говоря, кривой является образ непрерьюного отображения отрезка [ а, Ъ ] в пространство. Это определение казалось вполне соответствующим наглядному представлению о кривой, но в 1890 г. Пеано построил такое непрерывное отображение отрезка [ а, Ъ ], образом которого является целый квадрат на плоскости. Мы рассмотрим этот пример ниже. В 1897 г. Клейн писал: Что такое произвольная кривая, произвольная поверхность. [18]
В одном из ответных писем Дедекинд отмечает, что результат Кантора не лишает смысла понятие размерности, поскольку можно рассматривать лишь непрерывные в обе стороны соответствия, и тогда пространства разной размерности можно будет различить. Впрочем, отсутствие непрерывного в обе стороны соответствия между отрезком и квадратом доказать несложно; трудности начинаются в больших размерностях. Заметим также, что существует непрерывное отображение отрезка в квадрат, которое проходит через любую точку квадрата. [19]