Cтраница 1
Дуальное отображение было рассмотрено автором ( и построено им для пространств с дифференцируемой по Гато нормой) в докладе от 1959 г. [12] и в работе [13] в связи с изучением нелинейных уравнений и распространением метода наискорейшего спуска на банаховы пространства. Позднее дуальное отображение было детально изучено в работах Ф, Браудера [29, 32, 38] и других авторов. [1]
Дуальное отображение U: Е - Е секвенциально слабо непрерывно. [2]
В § 22 устанавливается предложение о равномерной непрерывности дуального отображения на всяком ограниченном множестве, выясняется вопрос о слабой непрерывности этого отображения и доказывается ряд вспомогательных предложений, при помощи которых устанавливаются основные теоремы о разрешимости уравнений с нелинейными аккретивными операторами. [3]
Однако в пространствах Лебега LP, 1 р 2, дуальное отображение может и не быть слабо непрерывным. Это видно из следующего примера. [4]
В частности, при n ( t) t получаем обычное дуальное отображение. Если единичная сфера в Е является гладкой, то ( ср. [5]
Так как нелинейные аккретивные операторы в банаховых пространствах вводятся при помощи полускалярного произведения и дуального отображения, то в § § 21 и 22 изучаются различные свойства дуального отображения. В данной главе изучаются также приближенные методы решения нелинейных уравнений. В § 21 рассматриваются приближения типа наискорейшего спуска для нелинейных уравнений с аккретивными операторами, а в § 23 - приближения типа Галеркина - Петрова для нелинейных уравнений с аккретивными и монотонными операторами. [6]
Если Е - вещественное рефлексивное банахово пространство и сопряженное пространство Е строго выпукло, то дуальное отображение U: Е - Е деминепрерывно. [7]
Если Ех - рефлексивное банахово пространство, ЕУ Е Х, Е х - строго выпукло и / - дуальное отображение, то, как увидим в § § 21 и 22, определение / - монотонного оператора совпадает с определением нелинейного аккретивного оператора. [8]
Замечание 21.1. Отметим, что из леммы 21.3 вытекает, что если Е рефлексивно и Е строго выпукло, то дуальное отображение хеминепрерывно. [9]
Оказывается ( см. лемму 22.1), что если пространство Е х, сопряженное с вещественным пространством Ех, равномерно выпукло1), то дуальное отображение / равномерно непрерывно на всяком ограниченном множестве. [10]
Так как нелинейные аккретивные операторы в банаховых пространствах вводятся при помощи полускалярного произведения и дуального отображения, то в § § 21 и 22 изучаются различные свойства дуального отображения. В данной главе изучаются также приближенные методы решения нелинейных уравнений. В § 21 рассматриваются приближения типа наискорейшего спуска для нелинейных уравнений с аккретивными операторами, а в § 23 - приближения типа Галеркина - Петрова для нелинейных уравнений с аккретивными и монотонными операторами. [11]
Дуальное отображение было рассмотрено автором ( и построено им для пространств с дифференцируемой по Гато нормой) в докладе от 1959 г. [12] и в работе [13] в связи с изучением нелинейных уравнений и распространением метода наискорейшего спуска на банаховы пространства. Позднее дуальное отображение было детально изучено в работах Ф, Браудера [29, 32, 38] и других авторов. [12]
В главе VII ( § § 21 - 23) изучаются уравнения с не - NX, линейными аккретивными операторами и доказываются N, теоремы о сходимости к решениям нелинейных уравне - Г4 ний приближений типа наискорейшего спуска и типа ч ХГалеркина. В § 21 вводится дуальное отображение из нормированного пространства Е в сопряженное пространство Е и изучаются его свойства. Доказывается, в частности, что дуальное отображение определяется однозначно, если пространство Е строго выпукло, что оно монотонно, коэрцитивно и строго монотонно, если Е строго выпукло. При помощи дуального отображения вводится полускалярное произведение в нормированных пространствах и нелинейные аккретивные операторы. Изучаются некоторые свойства аккретивных операторов и доказываются основная теорема 21.1 о гомеоморфизме нелинейных сильно аккретивных операторов, удовлетворяющих условию Липшица, и теоремы о существовании решений нелинейных уравнений с такими операторами. [13]
Мы видели, что в вещественном гильбертовом пространстве дуальное отображение Ux - х, а следовательно, оно преобразует зсякую слабо сходящуюся последовательность в слабо сходящуюся. Далее, в пространствах последовательностей IP, р 1, слабая сходимость последовательности: к х), где х ( п) (, 4 4п)) означает что для любого i xW - х У при п-оо. [14]
РТ - это отношение дуальности, при котором точки соответствуют плоскостям, прямые - прямым, а плоскости - точкам. При дуальном отображении сохраняется инцидентность, но меняется на противоположное направление отношений включения между пространствами. [15]