Cтраница 2
Напомним, что непрерывное отображение f: X - - Y назы -, вается накрывающим, если у всякой точки / У существует такая окрестность U, что прообраз f - 1 ( U) является дизъюнктным объединением множеств VK, Я е Л, таких что каждое ограничение /: Vi - - U есть гомеоморфизм. Если X и У - орбиобразия и /: X - Y - отображение орбиобразий, то накрывающее отображение орбиобразий определяется таким же образом, за исключением того, что отображению /: V - - U разрешается быть естественным факторотображением двух факторпространств пространства R по действию конечных групп, одна из которых является подгруппой другой. Таким образом, если группа G действует собственно-разрывно диффеоморфизмами гладкого многообразия М и Н - ее подгруппа, то естественное отображение М / Я-v M / G будет накрытием орбиобразий. В частности, проекция M - M / G является накрытием орбиобразий. Заметим, что накрытие орбиобразий не обязано быть накрытием подстилающих пространств. На самом деле пространство M / G может быть односвязным, как в случае факторпространств 52, Е2 или Н2 по действию групп треугольников. [16]
Например, Rm односвязно, a R2 0 неодно-связно, поскольку нельзя непрерывно стянуть единичную окружность в точку, не проходя через начало координат. Если М - произвольное многообразие, то существует односвязное накрывающее многообразие я: М - М, где накрывающее отображение я является отображением на и локальным диффеоморфизмом. [17]
Уравнение ( 116) тесно связано с теорией униформизации и изучалось различными авторами. U - - S - универсальное накрывающее отображение; 2) л: D - - S - накрывающее отображение Шоттки. [18]
U такая, что каждая компонента связности множества я 1 ( ( У) гомеоморфно отображается на U отображением я, называемым накрывающим отображением или проекцией. [19]
Докажите, что отображение F: Sm - RPm, ставящее в соответствие точке х е Sm ее класс эквивалентности в RPm, является гладким накрывающим отображением. [20]
Если F 5 / - скрученное / - расслоение над F, то существуют двулистное накрытие L поверхности F и проекция L X / - - xF x /, которая также является двулистным накрывающим отображением. [21]
Отображение рХр: ( 7X ( 7 - GXG является одно-связным накрытием многообразия G X G. Определим умножение i: G X G - G как накрывающее отображение для умножения [ л в группе G, переводящее точку ( е, е) в е, п инверсию i: G - G как накрывающее отображение для инверсии i в группе G, переводящее точку е в себя. [22]
Рассматриваем всевозможные пути в А, выходящие из е, и идентифицируем эквивалентные пути, имеющие данный конец. В совокупность путей вносится обычным образом топология. Ставя каждому пути из 2 в соответствие его конец, получают накрывающее отображение односвязного пространства А на заданное пространство А. [23]
Неоднозначность наблюдается всякий раз, когда путь / проходит через вершину V. Ясно, что проекция E3 ty - - C V является накрывающим отображением и локальной изометрией. [24]
Естественная проекция тг: А - А / Г М является локальной изометрией и универсальным накрывающим отображением, которое индуцирует на поверхности М метрику постоянной отрицательной кривизны. [25]
Заметим, что если G действует на X собственно-разрывно, то стабилизатор любой точки пространства X должен быть конечным. Если все стабилизаторы точек тривиальны, то мы будем говорить, что группа G действует свободно. Нетрудно показать, что если G действует на многообразии X свободно и собственно-разрывно, то естественное отображение X - - X / G является накрывающим отображением с группой накрытия G. Если группа G действует на пространстве X собственно-разрывно, то она образует дискретное подмножество в пространстве всех непрерывных отображений Х - - Х, снабженном компактно-открытой топологией. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно, но оно справедливо в случае, когда X - полное риманово многообразие, а G - некоторая группа его изометрий. [26]
Тогда отображение F [ o, Bj накрывается отображением Ffo. По теореме 7.3 о накрывающей гомотопии мы можем, очевидно, продолжить Ffo. F [ o, 2В ] накрывающего отображение / [ о, 2ej - Продолжая этот процесс, мы в конце концов получим отображение F, накрывающее отображение F. Так как F есть гомеоморфизм, сохраняющий орбитную структуру, то f - эквивалентность ( открытость отображения F следует из упражнения 10 гл. [27]
Отображение рХр: ( 7X ( 7 - GXG является одно-связным накрытием многообразия G X G. Определим умножение i: G X G - G как накрывающее отображение для умножения [ л в группе G, переводящее точку ( е, е) в е, п инверсию i: G - G как накрывающее отображение для инверсии i в группе G, переводящее точку е в себя. [28]
Беря аналогично предыдущему образы X, соответствующие элементам группы G, можно построить Х, выбрав представители классов смежности группы G по подгруппе GI и взяв объединение соответствующих образов области X. Если G - дискретная группа изометрий Е2, для которой факторпространство E2 / G F компактно, то индуцированная на F метрика позволяет вычислить площадь F. Ясно, что эта площадь равна площади любой фундаментальной области X для G. Таким образом, наше рассуждение показывает, что если GI - подгруппа в G индекса п, то площадь факторповерхности F E2 / G в п раз больше площади F. Будь проекция р: Fi - - F накрывающим отображением, результат был бы очевиден и непосредственно. Пространства F W и Fi p - l ( W) могут и не быть связными, но это не сказывается на доказательстве. [29]
Так как топологическое пространство связной группы Ли G обладает хорошими локальными свойствами, то существует односвязное накрытие G пространства G. GxGxG в множество § накрывает аналогичное отображение GxGxG - - G и переводит ( е, е, е) в е, поэтому они совпадают. Отображение G - vG, переводящее g в ge, накрывает тождественное отображение G-G и переводит е в е, поэтому ge - g для любого g; аналогично egg для любого g е G. Имеется также единственное отображение G-G, переводящее е ъ е и накрывающее отображение gt - g 1 группы G в себя. [30]