Cтраница 2
Рассмотрим практический прием оценки погрешности приближенного решения. Обозначим приближенное решение, полученное с шагом h, в точке х п через у. Решение в той же точке х2п, полученное с шагом 2й, обозначим через у. [16]
Не останавливаясь здесь подробно на таких алгоритмах, заметим лишь, что точность построения начала таблицы должна быть согласована с точностью нахождения последующих значений решения исходной задачи. Как и в случае одно-шаговых методов, для метода ( 3), в частности, также может быть получена оценка погрешности приближенного решения, сходная с оценкой (5.12), где роль еа будет играть соответствующая граница неточностей начальных данных. Основные выводы, которые были сделаны на основании (5.12) в отношении одношаговых методов, остаются справедливыми и для многошаговых вычислительных правил указанного вида. Очевидно также, что в случае рассматриваемых многошаговых методов можно получить и многие другие результаты, сходные с приведенными ранее для одношаговых правил. Повторно на этом мы не будем здесь останавливаться, а ограничимся лишь конкретными примерами экстраполяционных методов Адамса. [17]
В конкретных случаях для применения теоремы 3 достаточно воспользоваться хорошо известными оценками из теории дифференциальных уравнений и теории приближения функций. Теоремы 2 и 3 удобны тем, что позволяют, не вычисляя коэффициентов разностных уравнений, сделать вывод о корректности разностной задачи и получить оценку погрешности приближенного решения. Это, в свою очередь, дает возможность за счет специального выбора операторов Lt и координатных функций ф строить устойчивые разностные схемы с нужными аппроксимирующими свойствами. [18]
Допустим, что мы нашли приближенные решения uh Kih основной задачи и qH e ийн двойственной задачи. Вообще говоря, ин и qH могут отличаться от решений Uh и qH, получаемых при точном решении приближенных задач (3.1) и (4.1) соответственно. Тогда можно вычислить оценку погрешности приближенных решений основной и двойственной задач. [19]
Главными преимуществами двусторонних монотонных последовательных приближений к решениям операторного уравнения являются следующие. Это, в свою очередь, позволяет легко находить оценку погрешности приближенного решения, что создает определенные удобства в вычислениях. [20]
Если известен алгорифм нахождения точного решения задачи, то других ошибок, кроме вычислительных, не имеется. Положение усложняется, если для нахождения решения приходится пользоваться приближенным методом. Здесь наряду со случайными вычислительными ошибками появляются неизбежные погрешности приближенного решения вообще. Отметим, что оценка погрешности приближенного решения или общие соображения об его характере существенно необходимы, так как в противном случае полученный формально правильный результат может иметь чисто иллюзорное значение. [21]
В статьях [55, 56] предлагается новый вариант теории трехслойных пластин с несжимаемым в поперечном направлении заполнителем, основанный на гипотезе ломаной нормали. Уравнения равновесия в перемещениях получены с помощью принципа Лагранжа. Формальным введением малого параметра в дифференциальные уравнения решение исходной задачи сведено к итерационному процессу, содержащему решение задачи об изгибе пластины на упругом основании и плоской задачи теории упругости. Точное решение получено для прямоугольной шарнирно-опертой по контуру пластины, найдена оценка погрешности приближенного решения, получаемого после произвольного числа итераций. Этими же авторами предложен метод расчета осесим-метричных круглых трехслойных пластин с легким сжимаемым заполнителем на действие нагрузок, симметричных и обратно-симметричных относительно срединной плоскости. Разложение нагрузок на составляющие позволяет упростить определение постоянных, входящих в общее решение задачи. [22]
Результаты расчетов собраны в таблицах 5.2, 5.3. В этих таблицах приведены значения ( дц / дг)) 0, вычисленные со вторим порядком точности относительно А л, и число итераций по нелинейности j для различного числа точек М поперек слоя. В последней строке каждой таблицы даны значения ( йи / Зтрч-о Для профиля Блазиуса, проинтерполированного на соответствующую сетку. В таблице 5.2 приведены результаты для а 1, а в таблице 5.3 - для М 20 и различных а. Обратим внимание также на то, что на нервом слое по i при расчетах от профиля Блазиуса наибольшее число итераций по нелинейности. Оценка погрешности приближенного решения проводилась по ве - личине нормированного коэффициента трения w тТрУж, которая в рассматриваемом случае должна быть постоянной. [23]