Cтраница 2
Фреше, Позднее мы еще вернемся к вопросу об эффективности оценок наибольшего правдоподобия. [16]
Если распределение ненормально, но известно, то можно найти оценку наибольшего правдоподобия, которая максимизирует функцию правдоподобия, отвечающую заданной плотности вероятности помехи. При этом дисперсия оценки опять-таки равна нижней границе Крамера - Рао. [17]
Совсем короткая четвертая часть ( § 45) содержит обзор асимптотических свойств оценок наибольшего правдоподобия. [18]
В [15 - 16] было показано, что двухшаговая процедура [9] не приводит к оценкам наибольшего правдоподобия. В [7-8] показано также происхождение уравнения второго порядка такого типа. [19]
Легко видеть, что при Х 1 / хв вторая производная отрицательна; следовательно, эта точка есть точка максимума и, значит, в качестве оценки наибольшего правдоподобия надо принять величину, обратную выборочной средней: к 1 / хв. [20]
Поскольку оценки наибольшего правдоподобия в этом случае трудно получить и для обычной регрессионной модели, единственным выходом остается, как кажется, применение техники спецификации ошибок к оценкам наибольшего правдоподобия Blf, я 1 1 шага 3, считающихся теперь известными. В этом и будет состоять шаг 4, который складывается из двух частей - получения оценок с их статистическими характеристиками и выполнения окончательного прогноза. [21]
Если после подстановки гг и si шага 2 в ( 26) rt оказывается незначимым, то условия ( 22) - ( 23) выполнены, и Вг из ( 10) является оценкой наибольшего правдоподобия. [22]
Величина U при справедливости нулевой гипотезы распределена приближенно нормально с параметрами М ( U) 0 и а ( ( /) - 1 ( см. далее пояснение), В формуле () вероятность р неизвестна, поэтому заменим ее оценкой наибольшего правдоподобия ( см. гл. [23]
В дальнейшем используются следующие обозначения: Xt, xt, Zt, ztr q, v - зависимая и независимая переменные при отсутствии и наличии ошибок измерения, ошибки измерения в этих переменных; и 1 ы2 d2 - остаточные возмущения и белый шум в уравнениях для временных рядов и для временных рядов перекрестных выборок; М, s2, л ( 1, я ( 2), 2W, 2 ( 2) - математическое ожидание, выборочная дисперсия, остаточные ковариационные матрицы и ковариационные матрицы коэффициентов в уравнениях для временных рядов и временных рядов перекрестных выборок; N ( 0, s2), гг, Т, п, К, Е, i, ML - обозначение нормального распределения, коэффициент остаточной марковской автокорреляции первого порядка, количество наблюдений временного ряда и выборочного обследования, число независимых переменных, единичная матрица и единичный вектор, обозначение оценки наибольшего правдоподобия. [24]
Однако более поздние исследования1 показали, что это предположение соответствует действительности лишь тогда, когда множество допустимых оценок ограничено сильными условиями регулярности. Если же с оценкой наибольшего правдоподобия могут конкурировать произвольные асимптотически несмещенные оценки, то среди них можно найти так называемые сверхэффективные оценки, которые при некоторых значениях параметра имеют меньшую асимптотическую дисперсию, чем оценка наибольшего правдоподобия. [25]
Шаг 46 сводится к прямому выполнению точечного и интервального прогноза. Эта операция возможна потому, что SW 1 по-прежнему является ковариационной матрицей оценок наибольшего правдоподобия, а применение техники спецификации ошибок основывалось на формулах обычного метода наименьших квадратов. [26]
В случае с двумя переменными может быть использован МНК. Кроме того, существует другой, более сложный метод, использующий методы оценки наибольшего правдоподобия для определения вектора коинтеграции временных рядов. Последний метод сложнее, преимущество его в том, что он имеет общий вид для многофакторных моделей. [27]
Когда семейство 7 является нерегулярным или когда R и Р не являются абсолютно непрерывными друг относительно друга, обе задачи проектирования сильно усложняются. В частном случае, когда мера R дискретна, задача Б приводится после перенормировки, сводящейся к вычитанию бесконечно большого постоянного слагаемого, к нахождению оценки наибольшего правдоподобия. [28]
В своем интересном сообщении [1] A.M. Каган отметил, что в литературе до сих пор не выяснен вопрос о существовании асимптотически эффективных оценок параметра. Хочу указать, что в моей дипломной работе Асимптотическая теория статистических оценок [2], выполненной в 1952 г. под руководством профессора Е.Б. Дынкина, мне удалось доказать, что при выполнении некоторых условий регулярности оценка наибольшего правдоподобия является асимптотически наилучшей в классе асимптотически несмещенных оценок. Это по существу дает ответ на указанный вопрос. Ввиду того, что указанный результат имеет некоторый интерес для теории оценок, мне представляется полезным дать здесь его точную формулировку, а также план доказательства. [29]
Однако более поздние исследования1 показали, что это предположение соответствует действительности лишь тогда, когда множество допустимых оценок ограничено сильными условиями регулярности. Если же с оценкой наибольшего правдоподобия могут конкурировать произвольные асимптотически несмещенные оценки, то среди них можно найти так называемые сверхэффективные оценки, которые при некоторых значениях параметра имеют меньшую асимптотическую дисперсию, чем оценка наибольшего правдоподобия. [30]