Cтраница 2
По существу, использование интегрального представления (3.9) и играет роль регуляризации такого рода. При этом все особенности по переносятся на параметр v, что упрощает получение априорных оценок решения. Изложенная ниже схема построения решения позволяет также получать априорные оценки в нормах Lp, 1 р оо. [16]
При конкретизации функций цДи), Ьц ( и) и параметров задачи можно рассматривать и неотрицательные начальные дагшые и ( х) 0, а при наличии априорной оценки решений в C ( Q) и расщепленности системы ( 7) по старшим производным можно доказать разрешимость в целом. Для иллюстрации сказанного мы ограничимся примером, который будет приведен ниже. [17]
Условие общего компактного носителя векторных полей в правой части существенно в теореме Филиппова для обеспечения равномерной ограниченности скоростей и полноты векторных полей. Если имеются априорные оценки решений управляемой системы, можно умножить правую часть на функцию срезки и получить систему с векторными полями, имеющими общий компактный носитель. К новой системе теорема Филиппова уже применима. Но исходная и новая системы имеют одни и те же траектории в рассматриваемой области, поэтому исходная система имеет компактные множества достижимости. [18]
В этой главе развивается теория линейных эллиптических уравнений второго порядка, которая является, по существу, развитием теории потенциала. Она основана на том фундаментальном наблюдении, что уравнения с непрерывными по Гельдеру коэффициентами можно локально рассматривать как возмущения уравнений с постоянными коэффициентами. Из этого факта Шаудер [346, 347] смог построить глобальную теорию, развитие которой излагается здесь. Основой для такого метода являются априорные оценки решений, являющиеся обобщениями оценок теории потенциала на случай уравнений с коэффициентами, непрерывными по Гельдеру. Эти оценки обеспечивают возможность получения результатов о компактности, существенных для теории существования и регулярности, и, поскольку они применимы и к классическим решениям при относительно слабых предположениях о коэффициентах, они играют важную роль в последующей нелинейной теории. [19]