Cтраница 2
Уравнение ( 20) в скалярном случае постоянных Ah изучено Бором и Нейгебауэром [23]; основной результат - почта-периодичность всякого ограниченного решения - есть некоторое обобщение теоремы Боля - Бора. [16]
В настоящей монографии излагается теория старших показателей Ляпунова и генеральных показателей Боля для линейных нестационарных и близких к ним нелинейных уравнений; второй метод Ляпунова и его интерпретация в пространствах с дефинитной и индефинитной метрикой; теорема Флоке и локализационные теоремы о спектре оператора монодромни, разложение логарифма оператора в ряд; теория канонических уравнений с периодическим гамильтонианом, центральная зона устойчивости, признаки Ляпунова устойчивости и различные их обобщения; теория Фукса - Фробениуса; экспоненциальное расщепление решений линейных нестационарных уравнений, экспоненциальная дихотомия; теория интегральных многообразий, исследования Боля, Боголюбова н др.; обобщение асимптотических методов Биркгофа, Тамаркина и др. Независимое изложение пронизано оригинальными исследованиями авторов. [17]
В другой работе Н. Д. Моисеев ( 1949) привлекает к решению задачи технической устойчивости неравенство Боля ( 1900) и дает некоторые его обобщения. Неравенство Боля относится к решениям системы дифференциальных уравнений, правые части которых удовлетворяют условиям Липшица. [18]
Доказательство существования инвариантных многообразий у Боля основано на наглядной геометрической идее, которую для потоков на плоскости можно выразить так: если одни траектории проходят справа от положения равновесия, а другие - слева от него, то какие-то траектории должны стремиться к положению равновесия. Поэтому исследования Боля не оказали большого влияния на последующие работы в этой области и даже были надолго забыты. С другой стороны, следует отметить, что в связи со своим геометрическим подходом к задаче об инвариантных многообразиях Боль [2] за несколько лет до Брау-эра сформулировал и доказал теорему о неподвижной точке для непрерывных отображений шара в себя. [19]
Бинарно-тернарная касательная алгебра локальной аналитической лупы Боля является алгеброй Боля. Всякая конечномерная алгебра Боля изоморфна касательной алгебре единственной ( с точностью до изоморфизма) локальной аналитической лупы Боля. [20]
Беллман [54], применив методы функционального ямилнял, рассмотрел случай, когда возмущение / ( f) принадлежит прострипгтяу суммируемых или суммируемых с квадратом на J вектор-фуикний. В работе М. Г. Крейна [18] теорема Боля - Перрона распространят на случай, когда пространство значений искомой функции х ( t) и уршшгнии ( 2) есть произвольное банахово пространство. Следует особо отметить работу [61], в которой традиционное предположение об ограниченности на J оператор-функции A ( t) заменено менее жестким условием ее интегральной ограниченности. [21]
Лупа называется моноассоциативной, если любой ее элемент порождает ассоциативную подлупу, и дийссоциатиеной ( или альтернативной, если любая пара ее элементов порождает ассоциативную подлупу. В частности, любая лупа Боля моноассоциативна. Далее, лупа Боля диассоциативна тогда и только тогда, когда является лупой Муфанг. [22]
Сразу убедиться, что система ( 2) имеет такие решения, было бы затруднительно. Этот пример показывает, как с помощью теоремы Боля - Брауэра устанавливается существование решений систем уравнений. [23]
Несмотря на простоту формулировки, эта теорема Боля - Брауэра является весьма тонким и глубоким фактом. Ниже будут изложены более общие предложения, но уже теорема Боля - Брауэра приводит в приложениях к задаче о периодических решениях к важным результатам. [24]
Оказывается, что это умножение определяет структуру локальной аналитической лупы в окрестности точки е на Л1; она называется геодезической лупой данной связности. Если связность локально симметрична, то геодезическая лупа является лупой Боля. [25]
Теоремы существования и единственности § 1 излагаются в различных учебниках и давно и Хорошо известны. Результат теоремы 1.3 - устойчивость генерального показателя нелинейного уравнения при нелинейных возмущениях - фактически содержится в работах Боля ( см. комментарий к гл. Более частными ( по несколько более точными) являются результаты теорем 2.1 и 3.1 ( М. Г. Крейн [2] и Лекции), Метод, приведенный во второй из них, использует интегральные неравенства ( подобный метод фактически использовал уже Боль; см. комментарий к гл. Метод доказательства теоремы 2.1 является обобщением метода Ляпунова, так же как и метод доказательства теоремы 2.2 ( см. Лекции), обобщающий другую известную теорему Ляпунова - теорему о неустойчивости. В описанных теоремах § § 2, 3 возмущающий член имеет первый порядок малости. [26]
Бинарно-тернарная касательная алгебра локальной аналитической лупы Боля является алгеброй Боля. Всякая конечномерная алгебра Боля изоморфна касательной алгебре единственной ( с точностью до изоморфизма) локальной аналитической лупы Боля. [27]
Из теоремы 5.3 легко получается теорема С. Карлина [1]) ( мы назвали ее теоремой об ужах), полученная им другим путем - с помощью теоремы Боля - Брауэра о существовании неподвижной точки при непрерывном отображении симплекса в себя. Из теоремы об ужах вытекает ряд интересных для теории Т - систем фактов. [28]
Лупа называется моноассоциативной, если любой ее элемент порождает ассоциативную подлупу, и дийссоциатиеной ( или альтернативной, если любая пара ее элементов порождает ассоциативную подлупу. В частности, любая лупа Боля моноассоциативна. Далее, лупа Боля диассоциативна тогда и только тогда, когда является лупой Муфанг. [29]
Боль пришел к этим понятиям, изучая фактически ( если употреблять современную терминологию) вопрос об устойчивости при постоянно действующих возмущениях ( см. задачу VII. Он исходил из той методологической установки, что в задачах земной механики ( Erdische Mechanik) всегда существенную роль играет неконтролируемое рассеяние энергии, и поэтому при корректной постановке задач поведение решений должно быть устойчивым относительно малых возмущений уравнений. Замечательно, что и невозмущенное уравнение у Боля было, вообще говоря, нелинейным. В рассуждениях Боля фактически использовалось утверждение, подобное утверждениям следствий 2.1 и 2.2, встречающееся в современной литературе под самыми разнообразными названиями. Мы не приводим длинного и досадного списка работ, специально посвященных переоткрытию этих и близких к ним оценок. [30]