Cтраница 3
Эта область перестала быть доминирующей в алгебре, но ее важность никем не оспаривается. Дело в том, что многие задачи математики в конечном счете сводятся к вычислению отдельных корней конкретных многочленов или к качественному описанию их совокупности. Нам удастся затронуть лишь простейшие свойства корней, но их, во всяком случае, будет достаточно, чтобы в полной мере оценить особое место, занимаемое полем С комплексных чисел. [31]
Эта область перестала быть доминирующей в алгебре, но ее важность никем не оспаривается. Дело в том, что многие задачи математики в конечном счете сводятся к вычислению отдельных корней конкретных многочленов или к качественному описанию их совокупности. Нам удастся затронуть лишь простейшие свойства корней, но их во всяком случае будет достаточно, чтобы в полной мере оценить особое место, занимаемое полем С комплексных чисел. [32]
Работа по отысканию удобных методов дополнительных проверок, страхующих от ошибок в расчетах, еще далека от завершения. Точно так же далеко от завершения исследование интереснейшего третьего класса задач математики, физики и техники - промежуточных между корректными и некорректными. Задачи, относящиеся к третьему классу, обнаружены пока лишь при исследовании параметрической устойчивости систем управления, при решении систем дифференциальных уравнений ( и особенно - неканонических систем), при решении обобщенной проблемы собственных значений матриц, при решении интегральных уравнений [47], при использовании интегральных преобразований Лапласа и Фурье ( там же), а также в известной проблеме устойчивости по части переменных. На самом деле задач третьего класса гораздо больше и остается открытой важная проблема их обнаружения и изучения - с тем, чтобы в дальнейшем неожиданных встреч с подобными задачами и возникающих при этих встречах ошибок больше уже не происходило. Здесь тоже открыто поле для интереснейшей научной работы. [33]
В экономике сплошь да рядом приходится иметь дело с переменными величинами. Экономические переменные, имеющие качественную и количественную определенность, могут быть в функциональной зависимости друг от друга. Изучение количественных соотношений и функциональных зависимостей экономических переменных является одной из задач математики. [34]
Я решительно протестую против этого косного представления о математике. Существует немало математических работ, которые при всей строгости и логичности остаются в глазах опытного и компетентного специалиста чисто формальными опусами, ничего не говорящими ни уму, ни сердцу. Их авторы видят задачу математики в том, чтобы с помощью четких и точных методов создать новое, более совершенное представление о мире, высказать какое-то aper us l), которое еще немного приоткроет завесу таинственного. Если математики вынуждены при этом пользоваться определенными средствами, которые их в чем-то ограничивают, то разве не так обстоит дело при любой творческой работе. И разве это определяет существо дела. Знание контрапункта не лишает композитора восприимчивости к му-лыке, а необходимость считаться с правилами грамматики и писать сонеты, соблюдая определенную форму, не отнимает у поэта свободы творчества. Ибо полная свобода делать все, что ты хочешь и как ты хочешь, - это, в сущности, не более, чем свобода вообще ничего не делать. [35]
Некоторые из полученных Штейигаузом в то время результатов относились к прикладным задачам, часто возникали из работ, проводимых совместно со специалистами в различных областях науки, и докладывались в присутствии последних. Развивая старый и новый стиль таких комбинированных исследований, Штейнгауз пришел к убеждению, что их следует проводить на органической основе, то есть при допущении специалистов к обсуждению генезиса, смысла и важности проблемы. И далее: Сотрудничество следует начинать не с того момента, когда задача будет поставлена, а значительно раньше. Существуют задачи, которые представители естественных наук не считают математическими. Возможна и противоположная ситуация: в ряде задач математик иногда обнаруживает, что применение к ним сложных математических методов не обосновано. [36]
Позиция тех, кто считает, что в исследовании свойств эквивалентных преобразований следует пользоваться только математическими аргументами, заслуживает полного уважения. Такой позиции придерживался еще Больцано ( Bolzano, 1781 - 1848), впервые отказавшийся использовать в вопросах анализа геометрические соображения ( см. [31], стр. В вопросах чистой математики позиция Больцано была прогрессивной и получила поддержку многих последующих математиков. Однако безоговорочное следование этой позиции, особенно в прикладных вопросах, вряд ли является правильной линией поведения ( см., в частности, высказывания академика В. И. Арнольда по этому вопросу в [31], стр. Если мы хотим, чтобы наши расчеты и вычисления правильно предсказывали поведение реальных сооружений, систем и устройств, которые будут построены по нашим расчетам, то следует обязательно учитывать физическую сущность рассчитываемых процессов и явлений. К сожалению, людей, соединяющих в себе знание и математики, и техники, всегда было немного, и это обстоятельство, возможно, является еще одной существенной причиной столь позднего открытия преобразований, эквивалентных в классическом смысле, но не в расширенном, и позднего открытия третьего класса задач математики, физики и техники, меняющих корректность в ходе эквивалентных преобразований, использованных при их решении. В то же время учет физических соображений не отменяет требований математической строгости исследования, которая должна основываться прежде всего на точности и непротиворечивости используемых определений. Здесь тоже далеко не все в порядке - в противовес распространенному убеждению в том, что математика является полностью точной и строгой наукой. Точность определений часто тоже оставляет желать лучшего. [37]
Это и уровень детализации процесса, и выбор языка описания, и многое другое. Построение модели всегда опирается на систему гипотез, отражающих понимание исследователем изучаемого объекта. Это утверждение - одна из основных аксиом системного ана - - лиза, и она в известной степени противоречит традиционному разделению этих Двух составных частей исследовательского процесса. Эта точка зрения наиболее отчетливо высказывалась А. М. Ляпуновым, который считал, что, коль скоро задача механики или физики сформулирована, дальше она должна рассматриваться как задача математики. Этой точки зрения придерживается подавляющее большинство математиков, а тот взгляд на предмет исследования, который последовательно проводится в этой книге, как мы видим, отличается от традиционного: математик, занимающийся анализом сложной системы, никогда не должен Забывать о предмете анализа, о содержательном смысле исследования. Заметим, однако, что подобная точка зрения отнюдь не нова. Этими словами в аллегорической фор ме высказана, по существу, та же самая мысль. [38]
Это и уровень детализации процесса, и - выбор языка описания, и многое другое. Построение модели всегда опирается на систему гипотез, отражающих понимание исследователем изучаемого объекта. Таким образом, процесс построения математической модели неотделим от средств ее исследования. Это утверждение - одна из основных аксиом системного анализа, и она в известной степени противоречит традиционному разделению этих двух составных частей исследовательского процесса. Эта точка зрения наиболее отчетливо высказывалась А. М. Ляпуновым, который считал, что, коль скоро задача механики или физики сформулирована, дальше она должна рассматриваться как задача математики. Этой точки зрения придерживается подавляющее большинство математиков, а тот взгляд на предмет исследования, - который последовательно проводится в этой книге, как мы видим, отличается от традиционного: математик, занимающийся анализом сложной системы, никогда не должен забывать о предмете анализа, о содержательном смысле исследования. Заметим, однако, что подобная точка зрения отнюдь не нова. Этими словами в аллегорической форме высказана, по существу, та же самая мысль. [39]